Question

20．設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，已知a_n=$\left\{\begin{array}{l}11，n=1\\ n+1，n≥2\end{array}$，n∈N^*，則$\frac{S_n}{n}$的最小值為$\frac{23}{4}$．

Answer 1

分析 運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式，計算S_n，化簡$\frac{S_n}{n}$，再運(yùn)用基本不等式，求得等號成立的條件，注意n為自然數(shù)，計算n=3，4的數(shù)值，比較，即可得到所求最小值．

解答 解：S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=11+（3+4+…+n+1）
=11+$\frac{1}{2}$（n-1）（n+4）=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{3}{2}$n+9，
則$\frac{S_n}{n}$=$\frac{1}{2}$n+$\frac{9}{n}$+$\frac{3}{2}$，
由$\frac{1}{2}$n+$\frac{9}{n}$≥2$\sqrt{\frac{n}{2}•\frac{9}{n}}$=3$\sqrt{2}$，
當(dāng)$\frac{1}{2}$n=$\frac{9}{n}$時，即n=3$\sqrt{2}$∉N^*，等號成立，
由n=3時，$\frac{1}{2}$n+$\frac{9}{n}$=$\frac{9}{2}$，
n=4時，$\frac{1}{2}$n+$\frac{9}{n}$=$\frac{17}{4}$．
則$\frac{1}{2}$n+$\frac{9}{n}$的最小值為$\frac{17}{4}$．
可得$\frac{S_n}{n}$的最小值為$\frac{17}{4}$+$\frac{3}{2}$=$\frac{23}{4}$．
故答案為：$\frac{23}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列的求和公式的運(yùn)用，同時考查運(yùn)用基本不等式求最值的方法，注意等號成立的條件和n為自然數(shù)的條件，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯題．