Question

如圖，在Rt△ABC中，D是斜邊AB上一點(diǎn)，且AC=AD，記∠BCD=β，∠ABC=α．
（Ⅰ）求sinα+2sin²β的值； 
（Ⅱ）若BC=CD，求∠CAB的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由直角三角形的兩銳角互余及外角性質(zhì)用α，β表示出∠A和∠ACD，再由AC=AD，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，進(jìn)而得出α與β的關(guān)系式，用β表示出α，代入所求式子中，利用誘導(dǎo)公式變形，計(jì)算后即可得到值；
（Ⅱ）由BC=CD，利用正弦定理列出關(guān)系式，利用誘導(dǎo)公式變形后，將第一問得出的α+β=-β，α=-2β代入，利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再利用二倍角的余弦函數(shù)公式化為關(guān)于cosβ的方程，求出方程的解得到cosβ的值，由α和β都為直角三角形的銳角，利用特殊角的三角函數(shù)值求出β的度數(shù)，即可得到∠CAB的度數(shù)．
解答：解：（Ⅰ）由題意知：∠A=-α，∠ACD=-β，
又AC=AD，
∴∠ADC=∠ACD，
∴α+β=-β，即α=-2β，
則sinα+2sin²β=sin（-2β）+1-cos2β=cos2β+1-cos2β=1；
（Ⅱ）由BC=CD及正弦定理知：==，
∴sin∠BDC=sin[π-（α+β）]=sin（α+β）=sinα，
由（Ⅰ）知α+2β=，即α+β=-β，α=-2β，
∴sin（-β）=sin（-2β），即cosβ=cos2β=（2cos²β-1），
整理得：2cos²β-cosβ-=0，
解得：cosβ=或cosβ=-（舍去），
∵α，β∈（0，），
∴β=，
則∠CAB=．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，誘導(dǎo)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式，等腰三角形的性質(zhì)，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．