Question

已知函數f（x）=cos

2π

3

cos(

π

2

+2x)，則函數f（x）滿足（　　）

• A、f（x）的最小正周期是2π
• B、若f（x₁）=f（x₂），則x₁=x₂
• C、f（x）的圖象關于直線x=

  3π

  4

  對稱；
• D、當x∈[-

  π

  6

  ，

  π

  3

  ]時，f（x）的值域為[-

  3

  4

  ，

  3

  4

  ]

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數,運用誘導公式化簡求值,三角函數的周期性及其求法

專題：三角函數的圖像與性質

分析：利用三角恒等變換可得f（x）=

1

2

sin2x，再利用正弦函數的圖象與性質對A，B，C，D四個選項逐一分析判斷即可．

解答： 解：對于A，∵f（x）=cos

2π

3

cos(

π

2

+2x)=-

1

2

•（-sin2x）=

1

2

sin2x，
∴其周期T=π，排除A；
對于B，若f（x₁）=f（x₂），則x₁=kπ+x₂，或x₁=

kπ

2

-x₂，故B錯誤；
對于C，∵f（

3π

4

）=

1

2

sin

3π

2

=-

1

2

為最小值，故f（x）的圖象關于直線x=

3π

4

對稱，C正確；
對于D，當x∈[-

π

6

，

π

3

]時，2x∈[-

π

3

，

2π

3

]，sin2x∈[-

3

2

，1]，f（x）的值域為[-

3

4

，

1

2

]，故D錯誤；
故選：C．

點評：本題考查三角恒等變換，著重考查正弦函數的圖象與性質，屬于中檔題．