已知函數(shù)f(x)=x2-(1+2a)x+aln x(a為常數(shù)).

(1)當(dāng)a=-1時,求曲線y=f(x)在x=1處切線的方程;

(2)當(dāng)a>0時,討論函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,1)上的單調(diào)性,并寫出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間.

 

(1)y=2x.

(2)函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是,單調(diào)減區(qū)間是.

【解析】【解析】
(1)當(dāng)a=-1時,f(x)=x2+x-ln x,

則f′(x)=2x+1-

所以f(1)=2,且f′(1)=2.

所以曲線y=f(x)在x=1處的切線的方程為

y-2=2(x-1),即y=2x.

(2)由題意得f′(x)=2x-(1+2a)+

(x>0).

由f′(x)=0,得x1=,x2=a.

①當(dāng)0<a<時,由f′(x)>0且x>0,

得0<x<a或<x<1;

由f′(x)<0且x>0,得a<x<.

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,a)和,單調(diào)遞減區(qū)間是;

②當(dāng)a=時,f′(x)=≥0,當(dāng)且僅當(dāng)x=時,

f′(x)=0.

所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上是單調(diào)遞增函數(shù);

③當(dāng)<a<1時,由f′(x)>0且x>0,

得0<x<或a<x<1;

由f′(x)<0且x>0,得<x<a.

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是和(a,1),單調(diào)遞減區(qū)間是;

④當(dāng)a≥1時,由f′(x)>0且x>0,

得0<x<;

由f′(x)<0且x>0,得<x<1.

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是,單調(diào)減區(qū)間是.

 

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(1)求助跑道所在的拋物線方程;

(2)若助跑道所在拋物線與飛行軌跡所在拋物線在點C處有相同的切線,為使運(yùn)動員安全和空中姿態(tài)優(yōu)美,要求運(yùn)動員的飛行距離在4 m到6 m之間(包括4 m和6 m),試求運(yùn)動員飛行過程中距離平臺最大高度的取值范圍.

(注:飛行距離指點C與點E的水平距離,即這兩點橫坐標(biāo)差的絕對值)

 

 

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