已知函數(shù)f(x)=x2-(1+2a)x+aln x(a為常數(shù)).
(1)當(dāng)a=-1時,求曲線y=f(x)在x=1處切線的方程;
(2)當(dāng)a>0時,討論函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,1)上的單調(diào)性,并寫出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間.
(1)y=2x.
(2)函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是,單調(diào)減區(qū)間是
.
【解析】【解析】
(1)當(dāng)a=-1時,f(x)=x2+x-ln x,
則f′(x)=2x+1-,
所以f(1)=2,且f′(1)=2.
所以曲線y=f(x)在x=1處的切線的方程為
y-2=2(x-1),即y=2x.
(2)由題意得f′(x)=2x-(1+2a)+
=
= (x>0).
由f′(x)=0,得x1=,x2=a.
①當(dāng)0<a<時,由f′(x)>0且x>0,
得0<x<a或<x<1;
由f′(x)<0且x>0,得a<x<.
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,a)和,單調(diào)遞減區(qū)間是
;
②當(dāng)a=時,f′(x)=
≥0,當(dāng)且僅當(dāng)x=
時,
f′(x)=0.
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上是單調(diào)遞增函數(shù);
③當(dāng)<a<1時,由f′(x)>0且x>0,
得0<x<或a<x<1;
由f′(x)<0且x>0,得<x<a.
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是和(a,1),單調(diào)遞減區(qū)間是
;
④當(dāng)a≥1時,由f′(x)>0且x>0,
得0<x<;
由f′(x)<0且x>0,得<x<1.
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是,單調(diào)減區(qū)間是
.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆高考蘇教數(shù)學(xué)(理)訓(xùn)練2 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件(解析版) 題型:填空題
已知α:x≥a,β:|x-1|<1.若α是β的必要不充分條件,則實數(shù)a的取值范圍為________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆高考蘇教數(shù)學(xué)(理)訓(xùn)練16 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合問題(解析版) 題型:解答題
輪滑是穿著帶滾輪的特制鞋在堅硬的場地上滑行的運(yùn)動.如圖,助跑道ABC是一段拋物線,某輪滑運(yùn)動員通過助跑道獲取速度后飛離跑道然后落到離地面高為1 m的平臺上E處,飛行的軌跡是一段拋物線CDE(拋物線CDE與拋物線ABC在同一平面內(nèi)),D為這段拋物線的最高點.現(xiàn)在運(yùn)動員的滑行輪跡所在平面上建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,x軸在地面上,助跑道一端點A(0,4),另一端點C(3,1),點B(2,0),單位:m.
(1)求助跑道所在的拋物線方程;
(2)若助跑道所在拋物線與飛行軌跡所在拋物線在點C處有相同的切線,為使運(yùn)動員安全和空中姿態(tài)優(yōu)美,要求運(yùn)動員的飛行距離在4 m到6 m之間(包括4 m和6 m),試求運(yùn)動員飛行過程中距離平臺最大高度的取值范圍.
(注:飛行距離指點C與點E的水平距離,即這兩點橫坐標(biāo)差的絕對值)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆高考蘇教數(shù)學(xué)(理)訓(xùn)練15 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值、最值(解析版) 題型:填空題
設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R).若x=-1為函數(shù)f(x)ex的一個極值點,則下列圖像不可能為y=f(x)圖像的是________.(填寫序號)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆高考蘇教數(shù)學(xué)(理)訓(xùn)練14 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=x3-ax2-3x.
(1)若f(x)在[1,+∞)上是增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;
(2)若x=3是f(x)的極值點,求f(x)的單調(diào)區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆高考蘇教數(shù)學(xué)(理)訓(xùn)練13 變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計算(解析版) 題型:填空題
曲線f(x)=·ex-f(0)x+
x2在點(1,f(1))處的切線方程為____________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆高考蘇教數(shù)學(xué)(理)訓(xùn)練11 函數(shù)與方程(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=x3-x2++
.
證明:存在x0∈,使f(x0)=x0.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆高考蘇教數(shù)學(xué)(理)訓(xùn)練10 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)(解析版) 題型:填空題
若函數(shù)y=f(x)是函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的反函數(shù),且f(2)=1,則f(x)=________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆高考數(shù)學(xué)(理)一輪總復(fù)習(xí)專題突破四 高考立體幾何(解析版) 題型:選擇題
某幾何體的三視圖如圖所示,則它的體積是( )
A.8-2π B.8- C.8-
D.
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