【題目】如圖，在四棱柱中，側(cè)棱底面且點(diǎn)和分別為和的中點(diǎn)
（1）求證：平面
（2）求二面角的正弦值
（3）設(shè)為棱上的點(diǎn)，若直線和平面所成角的正弦值為，求線段的長(zhǎng)

【答案】
（1）

見(jiàn)解答


（2）


（3）


【解析】如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，依題意可得,又因?yàn)?/span>分別為和的中點(diǎn)，得
（1）證明：依題意，可得為平面的一個(gè)法向量，，由此可得，，又因?yàn)橹本�平面，所以平面
（2）,設(shè)為平面的法向量，則，即,不妨設(shè)，可得。
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則,又，得,不妨設(shè)，可得因此有,于是,所以二面角的正弦值為。
（3）依題意，可設(shè)，其中則從而又為平面的一個(gè)法向量，由已知得整理得又因?yàn)?/span>，解得所以線段的長(zhǎng)為
【考點(diǎn)精析】利用空間向量的定義對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知在空間，具有大小和方向的量稱為空間向量．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】(2015·陜西）隨機(jī)抽取一個(gè)年份，對(duì)西安市該年4月份的天氣情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：

日期

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

天氣

晴

雨

陰

陰

陰

雨

陰

晴

晴

晴

陰

晴

晴

晴

晴

日期

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

天氣

晴

陰

雨

陰

陰

晴

陰

晴

晴

晴

陰

晴

晴

晴

雨


（1）在4月份任取一天，估計(jì)西安市在該天不下雨的概率；
（2）西安市某學(xué)校擬從4月份的一個(gè)晴天開始舉行連續(xù)兩天的運(yùn)動(dòng)會(huì)，估計(jì)運(yùn)動(dòng)會(huì)期間不下雨的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層。某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元。該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C（單位：萬(wàn)元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：C（x）=若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元。設(shè)f（x）為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和。

（Ⅰ）求k的值及f(x)的表達(dá)式。

（Ⅱ）隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】(2015·北京)某校老年、中年和青年教師的人數(shù)見(jiàn)下表，采用分層抽樣的方法調(diào)查教師的身體狀況，在抽取的樣本
中，青年教師有320人，則該樣本的老年教師人數(shù)為（ ）

A.90
B.100
C.180
D.300

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在三棱臺(tái)中，分別為的中點(diǎn).

（1）求證：平面；
（2）若平面 ， 求平面與平面所成的角（銳角）的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】(2015·湖北）設(shè)函數(shù)，的定義域均為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
（Ⅰ）求，的解析式，并證明：當(dāng)時(shí)，，；
（Ⅱ）設(shè)，，證明：當(dāng)時(shí)，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知m，n是兩條不同直線，，是兩個(gè)不同平面，則下列命題正確的是
A.若，垂直于同一平面，則與平行
B.若m，n平行于同一平面，則m與n平行
C.若，不平行，則在內(nèi)不存在與平行的直線
D.若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】(2015·陜西）設(shè)fn(x)是等比數(shù)列1,x,x2...,xn的各項(xiàng)和，其中x>0，nN, ，n≥2,
（1）證明：函數(shù)Fn（x）=fn(x)-2在(,1)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)（記為xn），且xn=+xnn+1；
（2）設(shè)有一個(gè)與上述等比數(shù)列的首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)分別相同的等差數(shù)列，其各項(xiàng)和為gn(x)，比較fn(x)與gn(x)的大小，并加以證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】下列說(shuō)法正確的是（ ） （1．）已知等比數(shù)列{an}，則“數(shù)列{an}單調(diào)遞增”是“數(shù)列{an}的公比q＞1”的充分不必要條件；
（2．）二項(xiàng)式 的展開式按一定次序排列，則無(wú)理項(xiàng)互不相鄰的概率是 ；
（3．）已知 ，則 ；
（4．）為了解1000名學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，采用系統(tǒng)抽樣的方法，從中抽取容量為40的樣本，則分段的間隔為40．
A.（1）（2）
B.（2）（3）
C.（1）（3）
D.（2）（4）

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