Question

1．在△ABC中，D為BC的中點，tan∠BAD=$\frac{1}{tan∠C}$，E為邊AC上的一點，且AE=$\frac{1}{2}$EC，BE=2，則△ABC面積的最大值為3．

Answer 1

分析 由tan∠BAD=$\frac{1}{tan∠C}$，可得∠BAD+∠C=$\frac{π}{2}$，因此∠DAC+∠ABD=$\frac{π}{2}$．在△ADC中，$\frac{CD}{sin∠DAC}$=$\frac{AD}{sinC}$，在△ABD中，$\frac{BD}{sin∠BAD}$=$\frac{AD}{sin∠ABD}$，可得sin2C=sin2∠ABD，∠C=∠ABD，或∠C+∠ABD=$\frac{π}{2}$，△ABC為等腰三角形或直角三角形．分類討論，利用三角形面積計算公式即可得出．

解答 解：由tan∠BAD=$\frac{1}{tan∠C}$，∴∠BAD+∠C=$\frac{π}{2}$，∴∠DAC+∠ABD=$\frac{π}{2}$
在△ADC中，$\frac{CD}{sin∠DAC}$=$\frac{AD}{sinC}$，
在△ABD中，$\frac{BD}{sin∠BAD}$=$\frac{AD}{sin∠ABD}$，
可得sin2C=sin2∠ABD，
∴∠C=∠ABD，或∠C+∠ABD=$\frac{π}{2}$，
∴△ABC為等腰三角形或直角三角形．
設(shè)AE=x．
①當(dāng)△ABC為直角三角形時，AB=$\sqrt{4-{x}^{2}}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}•3x•\sqrt{4-{x}^{2}}$，
∴${S}_{△ABC}^{2}$=$\frac{9}{4}$x²（4-x²）$≤\frac{9}{4}$$（\frac{{x}^{2}+4-{x}^{2}}{2}）^{2}$=9，當(dāng)且僅當(dāng)x=$\sqrt{2}$時等號成立．此時S_△ABC=3．
②當(dāng)△ABC為等腰三角形時，S_△ABC=$\frac{1}{2}•3x•3x$sin∠BAC=$\frac{9}{2}{x}^{2}sin∠ABC$，
cos∠BAC=$\frac{9{x}^{2}+{x}^{2}-4}{2×3x×x}$=$\frac{10{x}^{2}-4}{6{x}^{2}}$，sin²∠BAC=1-$（\frac{10{x}^{2}-4}{6{x}^{2}}）^{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{9}{2}{x}^{2}$$\sqrt{1-（\frac{10{x}^{2}-4}{6{x}^{2}}）^{2}}$=3$\sqrt{-4{x}^{4}+5{x}^{2}-1}$$（\frac{1}{2}＜x＜1）$，
∴當(dāng)x²=$\frac{5}{8}$時，S_△ABC有最大值$\frac{9}{4}$．
綜上可得：△ABC面積的最大值為3．
故答案為：3．

點評 本題考查了正弦定理余弦定理、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，基本不等式的性質(zhì)、三角形面積計算公式，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．