Question

6．?x∈（0，+∞），證明：$\frac{x}{x+1}$＜ln（1+x）＜x．

Answer 1

分析 要證不等式ln（x+1＞$\frac{x}{1+x}$恒成立，只需證（x+1）ln（x+1）-x＞0成立，構造函數(shù)f（x）=（x+1）ln（x+1）-x，利用導數(shù)判斷f（x）在x＞0時單調遞增，從而得到f（x）＞f（0）=0，即（x+1）ln（x+1）-1＞0成立；令f（x）=x-ln（x+1），根據(jù)它的導數(shù)的符號可得函數(shù)f（x）的單調性，再根據(jù)函數(shù)的單調性求得f（x）＞0，從而證得不等式．

解答 證明：∵x＞0，
∴要證ln（x+1）＞$\frac{x}{1+x}$，
只需證（x+1）ln（x+1）＞x，
即證（x+1）ln（x+1）-x＞0，
令f（x）=（x+1）ln（x+1）-x，
則f′（x）=ln（x+1）+1-1=ln（x+1），
∵x＞0，
∴l(xiāng)n（x+1）＞ln1=0，
即f′（x）＞0，
∴f（x）在x＞0時單調遞增，
∴f（x）＞f（0）=0
∴（x+1）ln（x+1）-x＞0成立，
∴$\frac{x}{1+x}$＜ln（1+x）．
令f（x）=x-ln（x+1），則它的導數(shù)為 f′（x）=1-$\frac{1}{x+1}$．
當x＞0時，f′（x）＞0，故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
故有f（x）=x-ln（x+1）＞0，∴l(xiāng)n（x+1）≤x．
∴$\frac{x}{1+x}$＜ln（1+x）＜x（x＞0）．

點評 本題考查不等式的性質，導數(shù)在研究函數(shù)單調性中的應用，屬于中檔題．