Question

18．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且$\frac{（a+b）^{2}-{c}^{2}}{ab}$=1．
（Ⅰ）求∠C；
（Ⅱ）若c=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，求∠B及△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知將條件式變形得：a²+b²-c²=-ab，由余弦定理得cosC=-$\frac{1}{2}$，結(jié)合范圍0＜C＜π，可求C的值．
（Ⅱ）由正弦定理可求sinB，進而可求B，利用兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinA的值，進而利用三角形面積公式即可計算得解．

解答 解：（Ⅰ）由已知將條件式化簡（a+b）²-c²=ab，
變形得：a²+b²-c²=-ab，
由余弦定理得cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=-$\frac{1}{2}$，
∵0＜C＜π，
∴C=$\frac{2π}{3}$．
（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理$\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$，
即$\frac{\sqrt{2}}{sinB}=\frac{\sqrt{3}}{sin\frac{2π}{3}}$，可得：sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴B=$\frac{π}{4}$，
在△ABC中，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{\sqrt{2}}{2}×（-\frac{1}{2}）+\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，
由三角形面積公式得S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$=$\frac{3-\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題主要考查了余弦定理，正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．