Question

如圖，已知橢圓的離心率為，E的左頂點(diǎn)為A、上頂點(diǎn)為B，點(diǎn)P在橢圓上，且△PF₁F₂的周長為．

（I）求橢圓的方程；
（II）設(shè)C，D是橢圓E上兩不同點(diǎn)，CD∥AB，直線CD與x軸、y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，且的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意知：，由此能求出橢圓方程．
（II）由A（-2，0），B（0，1），知．由CD∥AB，設(shè)直線CD的方程為，由已知，得M（-2m，0），N（0，m），設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由，得x²+2mx+2m²-2=0，再由根的判別式和韋達(dá)定理知，同理，，由此能求出λ+μ∈（-∞，-2]∪（2，+∞）．
解答：解：（I）由題意知：，
∴a²=4，b²=1，
∴橢圓方程為．
（II）∵A（-2，0），B（0，1），∴．
由CD∥AB，設(shè)直線CD的方程為，
由已知，得M（-2m，0），N（0，m），
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由，得x²+2mx+2m²-2=0，
△=（2m）²-4（2m²-2）＞0，∴m²＜2，
∴x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-2，
由得（x₁+2m，y₁）=λ（-x₁，m-y₁），
∴x₁+2m=-λx₁，即，
同理，由，得，
∴=，
由m²＜2，得，
∴λ+μ∈（-∞，-2]∪（2，+∞）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．