Question

6．在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，以相同的長度單位建立極坐標(biāo)系．已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ-ρsinθ=2，曲線C的參數(shù)方程為   $\left\{\begin{array}{l}{x=rcosα}\\{y=-2+rsinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）（r＞0）．
（Ⅰ）設(shè)t為參數(shù)，若x=-2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，求直線l的參數(shù)方程與曲線C的普通方程；
（Ⅱ）已知直線l與曲線C交于P，Q，設(shè)M（-2，-4），且|PQ|²=|MP|•|MQ|，求實(shí)數(shù)r的值．

Answer 1

分析 （I）將直線l的極坐標(biāo)方程，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程：x-y-2=0，得到直線l經(jīng)過點(diǎn)（-2，-4），斜率為1．可得直線l的參數(shù)方程，求出C的普通方程即可．
（II）把直線l的參數(shù)方程代入曲線C的方程，設(shè)MP=t₁，MQ=t₂．根據(jù)|PQ|²=|MP|•|MQ|，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．

解答 解：（Ⅰ）將x=ρcosθ，y=ρsinθ，
代入直線l的極坐標(biāo)方程得直角坐標(biāo)方程x-y-2=0，
再將x=-2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，代入直線l的直角坐標(biāo)方程，得y=-4+$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，
所以直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$   （t為參數(shù)），
x²+（y+2）²=（rcosα）²+（rsinα）²=r²，
得曲線C普通方程為x²+（y+2）²=r²；                              
（Ⅱ）將（1）中的直線參數(shù)方程代入x²+（y+2）²=r²，并整理得：
t²-4$\sqrt{2}$t+8-r²=0，又△=${（4\sqrt{2}）}^{2}$-4（8-r²）=4r²＞0，
設(shè)P、Q對應(yīng)參數(shù)分別為t₁，t₂，則t₁+t₂=4$\sqrt{2}$，t₁•t₂=8-r²，
由t的幾何意義得|PQ|=|t₁-t₂|=$\sqrt{{{（t}_{1}{+t}_{2}）}^{2}-{{4t}_{1}t}_{2}}$=2r，
|MP|•|MQ|=|t₁|•|t₂|=|t₁t₂|=|8-r²|，
所以（2r）²=|8-r²|，
解得：r=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程互化、直線參數(shù)方程及其應(yīng)用、直線與曲線相交弦長問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．