Question

求實數(shù)a,使下列等式對一切正整數(shù)n都成立:.

Answer 1

思路分析:對于此類型的題目,一般先使用不完全歸納法取n的特殊值,探求出待定系數(shù)再用數(shù)學(xué)歸納法證之.由于只有一個待定量,故只需取一個特殊值求a.

解:令n=1,得.∴a=3.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:

(1)當(dāng)n=1時,已證.

(2)假設(shè)n=k時,命題成立,即

.

則n=k+1時,左邊=+

=

所以,當(dāng)n=k+1時命題也成立.

由(1)(2)可知當(dāng)a=3時,等式對任意的n∈N^*均成立.