Question

10．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+ϕ）（其中A＞0，|ϕ|＜$\frac{π}{2}$，ω＞0）的圖象如圖所示，
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$\frac{3}{2}$sin2x-k=0在[0，$\frac{π}{2}$]上只有一解，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的最值得到A，再由函數(shù)的周期，結(jié)合周期公式得到ω的值，再根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)P（$\frac{π}{3}$，0），結(jié)合范圍|ϕ|＜$\frac{π}{2}$，解得ϕ的值，從而得到函數(shù)的表達(dá)式．
（2）由題意可知函數(shù)g（x）=2cos（2x+$\frac{π}{6}$） 與直線y=k在[0，$\frac{π}{2}$]上只有一解，結(jié)合余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得k的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）的最大值為1，A＞0，
∴A=1，
又∵函數(shù)的周期T=2×[$\frac{π}{3}$-（-$\frac{π}{6}$）]=π，
∴ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{2π}{π}$=2，
∴函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)P（$\frac{π}{3}$，0），即：sin（2×$\frac{π}{3}$+ϕ）=0，可得：2×$\frac{π}{3}$+ϕ=kπ，k∈Z，解之得：ϕ=kπ-$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
∵|ϕ|＜$\frac{π}{2}$，
∴解得：ϕ=$\frac{π}{3}$，
∴函數(shù)的表達(dá)式為：f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（2）∵f（x）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$\frac{3}{2}$sin2x-k=0，
∴sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$\frac{3}{2}$sin2x-k=0，化簡可得：2cos（2x+$\frac{π}{6}$）=k，
由題意可得函數(shù)g（x）=2cos（2x+$\frac{π}{6}$） 與直線y=k在[0，$\frac{π}{2}$]上只有一解，
由于x∈[0，$\frac{π}{2}$]，故2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
故g（x）=2cos（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-2，$\sqrt{3}$]．
如圖，要使的兩個函數(shù)圖形有一個交點(diǎn)必須使得k∈（-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]∪{-2}．

點(diǎn)評 本題給出函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象，要我們確定其解析式，著重考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)的知識，考查了方程根的存在性及個數(shù)判斷，兩角和差的正弦公式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．