Question

8．已知f（α）=cosα$\sqrt{\frac{1-sinα}{1+sinα}}$+sinα$\sqrt{\frac{1-cosα}{1+cosα}}$
（Ⅰ）當(dāng)α為第二象限角時(shí)，化簡(jiǎn)f（α）；
（Ⅱ）當(dāng)α∈（$\frac{π}{2}$，π）時(shí)，求f（α）的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)當(dāng)α為第二象限角時(shí)，sinα＞0，cosα＜0，即可化簡(jiǎn)．
（Ⅱ）當(dāng)α∈（$\frac{π}{2}$，π）時(shí)，求出f（α）內(nèi)層函數(shù)的范圍，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解其最大值．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)α為第二象限角時(shí)，sinα＞0，cosα＜0，
f（α）=cosα$\sqrt{\frac{1-sinα}{1+sinα}}$+sinα$\sqrt{\frac{1-cosα}{1+cosα}}$=cosα$\sqrt{\frac{（1-sina）^{2}}{1-si{n}^{2}α}}$+sinα$\sqrt{\frac{（1-cosα）^{2}}{1-co{s}^{2}α}}$=cosα•$\frac{1-sinα}{|cosα|}$+sin$α•\frac{1-cosα}{|sinα|}$=sinα-1+1-cosα=$\sqrt{2}$sin（$α-\frac{π}{4}$）
（Ⅱ）當(dāng)α∈（$\frac{π}{2}$，π）時(shí)，由（Ⅰ）可得f（α）=$\sqrt{2}$sin（$α-\frac{π}{4}$）
那么：$α-\frac{π}{4}∈（\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}）$，
則sin（$α-\frac{π}{4}$）∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]
∴f（α）的最大值為$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的有界性，角象限的運(yùn)用去絕對(duì)值，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．