設(shè)g（x）=2x+
m
x
，x∈[
1
4
，4]．
（1）若m=1，求g（x）的單調(diào)區(qū)間（簡單說明理由，不必嚴(yán)格證明）；
（2 ）若m=1，證明g（x）的最小值為g（
2
2
）；
（3）若g1(x)=
2x+
2
x
，x∈[
1
4
，1]
4，x∈[1，4]
，g2（x）=
17
2
，不等式|g1（x）-g2（x）|≥p恒成立，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．
分析：（1）根據(jù)y=ax+
b
x
（a＞0，b＞0，x＜0）單調(diào)區(qū)間及奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上單調(diào)性一致即可求出g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）由（1）g（x）的單調(diào)性即可證明；
（3）根據(jù)g（x）的單調(diào)性可表示出g1（x），g2（x），進(jìn)而表示出|g1（x）-g2（x）|，不等式|g1（x）-g2（x）|≥p恒成立等價(jià)于不等式|g1（x）-g2（x）|min≥p，其最小值易求，從而問題得以解決．
解答：解：（1）∵g（x）=2x+
1
x
為奇函數(shù)．奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相同，
g（x）在x∈[
1
4
，
2
2
]上遞減，g（x）在x∈[
2
2
，4]上遞增；
（2）用最值的定義證明：
g（x）在x∈[
1
4
，
2
2
]上遞減，對任意x∈[
1
4
，
2
2
]，
都有g(shù)（
1
4
）≥g（x）≥g（
2
2
），
g（x）在x∈[
2
2
，4]上遞增，對任意x∈[
2
2
，4]，都有g(shù)（4）≥g（x）≥g（
2
2
），
綜上，g（x）的最小值為g（
2
2
）．
（3）g1(x)=
2x+
2
x
，x∈[
1
4
，1]
4，x∈[1，4]
，g2（x）=
17
2
，
|g1（x）-g2（x）|=
|
17
2
-2x-
2
x
|，x∈[
1
4
，1)
9
2
，x∈[1，4]
，
|g1（x）-g2（x）|的最小值為0，
所以p≤0，即實(shí)數(shù)p的范圍是（-∞，0]．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及其應(yīng)用，考查不等式恒成立問題，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)（0，4），對任意x滿足f（3-x）=f（x），且有最小值是
74
．g（x）=2x+m．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ） 求函數(shù)h（x）=f（x）-（2t-3）x在區(qū)間[0，1]上的最小值，其中t∈R；
（Ⅲ）設(shè)f（x）與g（x）是定義在同一區(qū)間[p，q]上的兩個(gè)函數(shù)，若函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）在x∈[p，q]上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則稱f（x）和g（x）在[p，q]上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，區(qū)間[p，q]稱為“關(guān)聯(lián)區(qū)間”．若f（x）與g（x）在[0，3]上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)g（x）=2x+
1
x
，x∈[
1
4
，4]．
（1）求g（x）的單調(diào)區(qū)間；（簡單說明理由，不必嚴(yán)格證明）
（2）證明g（x）的最小值為g（
2
2
）；
（3）設(shè)已知函數(shù)f（x）（x∈[a，b]），定義：f1（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f2（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]．其中，min{f（x）|x∈D}表示函數(shù)f（x）在D上的最小值，max{f（x）|x∈D}表示函數(shù)f（x）在D上的最大值．例如：f（x）=sinx，x∈[-
π
2
，
π
2
]，則f1（x）=-1，x∈[-
π
2
，
π
2
]，f2（x）=sinx，x∈[-
π
2
，
π
2
]，設(shè)φ（x）=
g(x)+g(2x)
2
+
|g(x)-g(2x)|
2
，不等式p≤φ1（x）-φ2（x）≤m恒成立，求p、m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•資陽模擬）設(shè)f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=-x2+4x．
（Ⅰ）求f（x）的解析式，并解不等式f（x）≥x；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=2x-1+m，若對任意x1∈[-5，-1]，總存在x2∈[2，5]，使f（x1）=g（x2），求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•鐘祥市模擬）設(shè)f（x）與g（x）是定義在同一區(qū)間[a，b]上的兩個(gè)函數(shù)，若函數(shù)y=f（x）-g（x）在x∈[a，b]上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則稱f（x）和g（x）在[a，b]上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”．若f（x）=x2-3x+4與g（x）=2x+m在[0，3]上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，則m的取值范圍為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=-x2+4x．
（Ⅰ）求f（x）的解析式，并解不等式f（x）≥x；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=2x-1+m，若對任意x1∈[-1，4]，總存在x2∈[2，5]，使f（x1）=g（x2），求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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