Question

一船由甲地逆水行駛至乙地,甲、乙兩地相距s(km),水的流速為常量a(km/h),船在靜水中的最大速度為b(km/h)(b＞a).已知船每小時的燃料費用(以元為單位)與船在靜水中速度的平方成正比,比例系數(shù)為k,問:船在靜水中的航行速度為多少時,其全程的燃料費用最少?

     

Answer 1

思路分析:首先將全程燃料費表示成靜水中速度的函數(shù),然后求其最值.

    解:設(shè)船在靜水中的速度為v(km/h),則船每小時的燃料費用為kv²,

    而全程所需時間為,

    故全程的燃料費用為y=·kv²=ks［(v-a)++2a］［v∈(a,b)).

(1)當(dāng)2a≤b時,y=ks［(v-a)++2a］≥4aks.

    等號當(dāng)且僅當(dāng)v-a=,即v=2a時成立.

∴當(dāng)v=2a時,其全程的燃料費用最少.

(2)當(dāng)2a＞b時,令t=v-a,z=t+,

    則0＜t≤b-a.

    設(shè)0＜t₁＜t₂≤b-a＜a,

    則0＜t₁t₂≤(b-a)²＜a²,

∴＞1,t₁-t₂＜0.∴z₁-z₂=t₁+-(t₂+)=(t₁-t₂)(1-)＞0,

    即z₁＞z₂.

∴z=t+在(0,b-a)上遞減.

    故當(dāng)t=b-a,即v=b時,y有最小值.

    綜上所述,要使全程的燃料費用最少,則應(yīng):當(dāng)b≥2a時,v=2a;當(dāng)b＜2a時,v=b.