Question

如圖，已知平面ABCD⊥平面BCEF，且四邊形ABCD為矩形，四邊形BCEF為直角梯形，∠CBF=90°，BF∥CE，BC⊥CE，DC=CE=4，BC=BF=2，G為CE中點(diǎn)．
（1）作出這個幾何體的三視圖（不要求寫作法）；
（2）設(shè)P=DF∩AG，Q是直線DC上的動點(diǎn)，判斷并證明直線PQ與直線EF的位置關(guān)系；
（3）求直線EF與平面ADE所成角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,簡單空間圖形的三視圖,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由直觀圖能作出這個幾何體的三視圖．
（2）以C為原點(diǎn)，CB為x軸，CG為y軸，CD為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明直線PQ⊥直線EF．
（3）求出平面ADE的法向量，利用向量法能求出直線EF與平面ADE所成角的余弦值．

解答： 解：（1）作出這個幾何體的三視圖如右圖．
 （2）以C為原點(diǎn)，CB為x軸，CG為y軸，CD為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則D（0，0，4），F(xiàn)（2，2，0），P（1，1，2），E（0，4，0），
設(shè)Q（0，0，t），0≤t≤4，

PQ

=（1，1，t-2），

EF

=（2，-2，0），

PQ

•

EF

=2-2+0=0，
∴直線PQ⊥直線EF．
（3）A（2，0，4），

DA

=（2，0，0），

DE

=（0，4，-4），
設(shè)平面ADE的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • DA =2x=0 n • DE =4y-4z=0

，
取y=1，得

n

=（0，1，1），
設(shè)直線EF與平面ADE所成角為θ，
sinθ=|cos＜

n

，

EF

＞|=|

-2

2 2 × 2

|=

1

2

，
∴cosθ=

1-( 1 2 )2

=

3

2

．
∴直線EF與平面ADE所成角的余弦值為

3

2

．

點(diǎn)評：本題考查三視圖的作法，考查兩直線位置關(guān)系的判斷，考查直線與平面所成角的余弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．