Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= 的圖象過點A（0， ），B（3，3）
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（2，+∞）上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義加以證明；
（3）若m，n∈（2，+∞）且函數(shù)f（x）在[m，n]上的值域為[1，3]，求m+n的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）= 的圖象過點A（0， ），B（3，3），

∴ ，解得：

∴f（x）=

（2）解：函數(shù)f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞減，

證明：任取x2＞x1＞2，

則f（x1）﹣f（x2）=

∵x2＞x1＞2，

∴x2﹣x1＞0，x1﹣2＞0，x2﹣2＞0，

∴ ＞0，得f（x1）﹣f（x2）＞0，

∴f（x1）＞f（x2），

函數(shù)f（x）在（2，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)

（3）解：∵m，n∈（2，+∞），

∴函數(shù)f（x）在[m，n]上單調(diào)遞減，

∴f（m）=3，f（n）=1

∴ =3， =1，

∴m=3，n=5，

∴m+n=8

【解析】（1）將A、B的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式，求出a，b的值即可；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于m、n的方程，求出m、n的值，從而求出m+n的值即可．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識，掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較．