Question

等邊三角形的邊長(zhǎng)為3,點(diǎn)、分別是邊、上的點(diǎn),且滿足(如圖1).將△沿折起到△的位置,使二面角為直二面角,連結(jié)、 (如圖2).

（Ⅰ）求證:平面;
（Ⅱ）在線段上是否存在點(diǎn),使直線與平面所成的角為?若存在,求出的長(zhǎng),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（Ⅱ）在線段上存在點(diǎn),使直線與平面所成的角為,此時(shí)

解析試題分析：（Ⅰ）二面角為直二面角,要證平面；只要證；
（Ⅱ）假設(shè)存在點(diǎn),使直線與平面所成的角為，根據(jù)直線與平面所成的角的定義作出
直線與平面所成的角，設(shè)的長(zhǎng)為，用表示，在直角中，
根據(jù)勾股定理列出方程，若方程有解則存在，否則不存在.或借助已有的垂直關(guān)系；也可以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角標(biāo)系,求出平面的一個(gè)法向量 ，利用建立方程，解這個(gè)方程探求 點(diǎn)的存在性.
試題解析：證明:(1)因?yàn)榈冗叀?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/bd/4/jducy.png" style="vertical-align:middle;" />的邊長(zhǎng)為3,且,
所以,. 在△中,,
由余弦定理得
. 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/f9/b/kvfrc2.png" style="vertical-align:middle;" />,
所以.          3分
折疊后有,因?yàn)槎�面�?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/e6/9/saqla3.png" style="vertical-align:middle;" />是直二面角,
所以平面平面  ,又平面平面,
平面,, 所以平面.    6分

(2)解法1:假設(shè)在線段上存在點(diǎn),使直線與平面所成的角為.
如圖,作于點(diǎn),連結(jié)、 ，
由(1)有平面,而平面,
所以,又, 所以平面,  
所以是直線與平面所成的角  ,          8分
設(shè),則