【題目】已知函數(shù),
,
.
(1)若,
.
①當時,證明:
;
②若有兩個不相等的零點
,且
,證明:
;
(2)討論的單調(diào)性.
【答案】(1)①證明見解析②證明見解析;(2)當時,
在
上單調(diào)遞增,在
單調(diào)遞減;當
時,
在
上單調(diào)遞增;當
時,
在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增.
【解析】
(1)①表示出的解析式,代入
,求得
,即可根據(jù)函數(shù)
的符號判斷
的單調(diào)性,從而求得最小值,即可證明不等式成立;②根據(jù)零點定義可代入
的解析式,相減后根據(jù)對數(shù)運算表示出
令
,即可用
表示
構(gòu)造函數(shù)
,并求得導函數(shù)
,即可由
的符號確定
的單調(diào)性,從而求得
的最大值,即可得
.從而
,即可證明
.
(2)將代入可得
解析式,并求得
,并令
。對
分
、
、
和
四種情況討論,即可確定
的符號,從而判斷
的單調(diào)性.
(1)證明:,
.
(i)當時,
,則
,
所以在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增,
故.
(ii)由題意得,,
,
兩式相減得,
,
,
.
令,其中
,則
,
令,則
,
所以在
上是增函數(shù),
故,即
,即
.
,
,
即
,
.
(2),
的定義域為
,且
.
令,
,
當時,
在
上恒成立,即
恒成立,
所以在
上單調(diào)遞增;
當時,令
,得
,
,
所以當時,
,即
,
單調(diào)遞增,
當時,
,即
,
單調(diào)遞減;
當時,
,
在
上恒成立,即
在
上恒成立,所以
在
上單調(diào)遞增;
當時,
,
當時,
,即
,
單調(diào)遞減,
當時,
,即
,
單調(diào)遞增.
綜上所述,當時,
在
上單調(diào)遞增,在
單調(diào)遞減,
當時,
在
上單調(diào)遞增;
當時,
在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是平行四邊形,∠BCD=135°,PA⊥平面ABCD,AB=AC=PA=2,E,F,M分別為線段BC,AD,PD的中點.
(1)求證:直線EF⊥平面PAC;
(2)求平面MEF與平面PBC所成二面角的正弦值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】我國古代數(shù)學家提出的“中國剩余定理”又稱“孫子定理”,它在世界數(shù)學史上具有光輝的一頁,堪稱數(shù)學史上名垂百世的成就,而且一直啟發(fā)和指引著歷代數(shù)學家們.定理涉及的是數(shù)的整除問題,其數(shù)學思想在近代數(shù)學、當代密碼學研究及日常生活都有著廣泛應用,為世界數(shù)學的發(fā)展做出了巨大貢獻,現(xiàn)有這樣一個整除問題:將1到2019這2019個整數(shù)中能被5除余1且被7除余2的數(shù)按從小到大的順序排成一列,構(gòu)成數(shù)列,那么此數(shù)列的項數(shù)為( )
A.56B.57C.58D.59
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示是一個上下底面均是邊長為2的正三角形的直三棱柱,且該直三棱柱的高為4,D為AB的中點,E為CC1的中點.
(1)求DE與平面ABC夾角的正弦值;
(2)求二面角A﹣A1D﹣E的余弦值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,直線l的參數(shù)方程為
(t為參數(shù)),以坐標原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為
(1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程;
(2)若直線l與曲線C相交于A,B兩點.求
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在新中國成立70周年國慶閱兵慶典中,眾多群眾在臉上貼著一顆紅心,以此表達對祖國的熱愛之情,在數(shù)學中,有多種方程都可以表示心型曲線,其中有著名的笛卡爾心型曲線,如圖,在直角坐標系中,以原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系.圖中的曲線就是笛卡爾心型曲線,其極坐標方程為(
),M為該曲線上的任意一點.
(1)當時,求M點的極坐標;
(2)將射線OM繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)與該曲線相交于點N,求
的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】新高考方案規(guī)定,普通高中學業(yè)水平考試分為合格性考試(合格考)和選擇性考試(選擇考).其中“選擇考”成績將計入高考總成績,即“選擇考”成績根據(jù)學生考試時的原始卷面分數(shù),由高到低進行排序,評定為、
、
、
、
五個等級.某試點高中2018年參加“選擇考”總?cè)藬?shù)是2016年參加“選擇考”總?cè)藬?shù)的2倍,為了更好地分析該校學生“選擇考”的水平情況,統(tǒng)計了該校2016年和2018年“選擇考”成績等級結(jié)果,得到如下圖表:
針對該!斑x擇考”情況,2018年與2016年比較,下列說法正確的是( )
A. 獲得A等級的人數(shù)減少了B. 獲得B等級的人數(shù)增加了1.5倍
C. 獲得D等級的人數(shù)減少了一半D. 獲得E等級的人數(shù)相同
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系xOy中,點F是橢圓C:1(a>b>0)的一個焦點,點D是橢圓上的一個動點,且|FD|∈[1,3].
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)過點P(﹣4,0)作直線交橢圓C于A,B兩點,求△AOB面積的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知命題方程
在
在存在唯一實數(shù)根;
,
.
(1)若命題為真命題,求實數(shù)
的取值范圍;
(2)若為真命題,求實數(shù)
的取值范圍.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com