Question

已知：y=f（x）定義域為[-1，1]，且滿足：f（-1）=f（1）=0，對任意u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|．
（1）判斷函數(shù)p（x）=x²-1 是否滿足題設(shè)條件？
（2）判斷函數(shù)g（x）=

1+x，x∈[-1，0] 1-x，x∈[0，1]

，是否滿足題設(shè)條件？

Answer 1

分析：由對任意u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|．可得函數(shù)圖象上（u，f（u）），（v，f（v））兩點連續(xù)的斜率|k|≤1
（1）利用導(dǎo)數(shù)法，分析函數(shù)p（x）=x²-1切線斜率的范圍，可知函數(shù)p（x）=x²-1 不滿足題設(shè)條件
（2）分類討論①當(dāng)這兩點的橫坐標(biāo)均在區(qū)間[-1，0]上時，②當(dāng)這兩點的橫坐標(biāo)均在區(qū)間[0，1]上時，③當(dāng)這兩個點的橫坐標(biāo)分別位于區(qū)間[-1，0]和區(qū)間[0，1]上時，綜合討論結(jié)果，可得函數(shù)g（x）=

1+x，x∈[-1，0] 1-x，x∈[0，1]

滿足題設(shè)條件

解答：解：若|f（u）-f（v）|≤|u-v|．
則

|f(u)-f(v)|

|u-v|

=|k|≤1
即函數(shù)圖象上任取兩點連線的斜率均不大于1
（1）若p（x）=x²-1，則p′（x）=2x
當(dāng)這兩點的橫坐標(biāo)均在區(qū)間[-1，-

1

2

）或（

1

2

，1]時，顯然不符合要求
故函數(shù)p（x）=x²-1 不滿足題設(shè)條件
（2）若函數(shù)g（x）=

1+x，x∈[-1，0] 1-x，x∈[0，1]

，
當(dāng)這兩點的橫坐標(biāo)均在區(qū)間[-1，0]上時，k=1恒成立滿足要求
當(dāng)這兩點的橫坐標(biāo)均在區(qū)間[0，1]上時，k=-1恒成立滿足要求
當(dāng)這兩個點的橫坐標(biāo)分別位于區(qū)間[-1，0]和區(qū)間[0，1]上時，0≤k＜1滿足要求
故函數(shù)g（x）=

1+x，x∈[-1，0] 1-x，x∈[0，1]

滿足題設(shè)條件

點評：本題考查的知識點是新定義問題，真正理解新定義的實質(zhì)是解答的關(guān)鍵．