Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足4b1-1•42b2-1•43b3-1…4nbn-1=(an+1)n，求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（3）若c_n=（b_n-1）（b_n+1-1），求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）由已知可得a_n+1+1=2（a_n+1），從而可得數(shù)列{1+a_n}是等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式可求
（2）由已知可得2（b₁+2b₂+…+nb_n）-2n=n²+2n，2[b₁+2b₂+…+（n-1）b_n-1]=（n-1）²+2（n-1），兩式相減可求
（3）由c_n=（b_n-1）（b_n+1-1）=

1

2n

•

1

2(n+1)

=

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，利用裂項求和即可

解答：解：（1）∵a₁=1，a_n+1=2a_n+1
∴a₁=1，a_n+1+1=2（a_n+1）
∴數(shù)列{1+a_n}是以2為公比以2為首項的等比數(shù)列
∴an+1=2n
∴an=2n-1
（2）∵4b1-1•42b2-1•43b3-1…4nbn-1=(an+1)n，
∴4b1+2b2+3b3+…+nbn-n=2n2
∴2（b₁+2b₂+…+nb_n）-2n=n²
∴2（b₁+2b₂+…+nb_n）-2n=n²+2n①
2[b₁+2b₂+…+（n-1）b_n-1]=（n-1）²+2（n-1）②
①-②可得，2nb_n=2n+1
即bn=1+

1

2n

（n≥2），n=1也滿足
∴bn=1+

1

2n

（3）∵c_n=（b_n-1）（b_n+1-1）=

1

2n

•

1

2(n+1)

=

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)
∴Sn=

1

4

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)
=

1

4

(1-

1

n+1

)=

n

4n+4

點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列求解通項公式，利用數(shù)列的遞推公式轉(zhuǎn)化數(shù)列的和與項之間的關(guān)系，裂項求解數(shù)列的和的應(yīng)用．