Question

18．在△ABC中，角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知a=4，b=5，cos（B-A）=$\frac{31}{32}$，則cosB=$\frac{9}{16}$．

Answer 1

分析 由題意和邊角關(guān)系可得B＞A，由條件和平方關(guān)系求出sin（B-A），由正弦定理化簡得sinA與sinB關(guān)系，由
sinA=sin[B-（B-A）]、兩角差的正弦公式化簡后，結(jié)合條件和平方關(guān)系求出cosB的值．

解答 解：由$a=4，b=5，cos（B-A）=\frac{31}{32}$得，
B＞A，sin（B-A）＞0，
所以$sin（B-A）=\sqrt{1-{{cos}^2}（B-A）}=\sqrt{1-{{（\frac{31}{32}）}^2}}=\frac{{3\sqrt{7}}}{32}$，
由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，則$\frac{4}{sinA}=\frac{5}{sinB}$，
即sinA=$\frac{4}{5}$sinB，
因為sinA=sin[B-（B-A）]=sinBcos（B-A）-cosBsin（B-A），
所以$\frac{4}{5}sinB=\frac{31}{32}sinB-\frac{{3\sqrt{7}}}{32}cosB$，
化簡得$9sinB=5\sqrt{7}cosB$，
由$9sinB=5\sqrt{7}cosB$，sinB＞0知，cosB＞0，
由$\left\{\begin{array}{l}{9sinB=5\sqrt{7}cosB}\\{co{s}^{2}B+{sin}^{2}B=1}\end{array}\right.$得，$co{s}^{2}B=\frac{81}{256}$，
所以$cosB=\frac{9}{16}$，
故答案為：$\frac{9}{16}$．

點評 本題考查正弦定理，邊角關(guān)系，兩角差的正弦公式以及平方關(guān)系的應(yīng)用，考查化簡、變形能力．