Question

（本小題滿分14分）

已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率，過橢圓的右焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）已知直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，的大小是否為定值？若是求出該定值，不是說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）的大小為定值，且

【解析】

試題分析：（I）設(shè)橢圓方程為                        ……1分

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則

于是                                               ……4分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013050511022034958828/SYS201305051102523495531936_DA.files/image009.png">                             ……5分

故橢圓的方程為                                              ……6分

（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，由坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為可知

,

∴,∴,                                            ……8分

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為, ,     ……9分

∵原點(diǎn)到直線的距離為,

∴，整理得（*）,                           ……10分

                        ……11分

,

將（*）式代入得,                      ……12分

,                     ……13分

∴ 

綜上分析，的大小為定值，且.                          ……14分

考點(diǎn)：本小題主要橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解和直線與橢圓位置關(guān)系的判斷和應(yīng)用.

點(diǎn)評(píng)：解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系題目時(shí)，如果需要設(shè)直線方程，則不要漏掉直線斜率不存在的情況；聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程后，不要忘記驗(yàn)證判別式大于零.