Question

14．如圖，在四棱錐S-ABCD中，四邊形為ABCD矩形，E為SA的中點(diǎn)，SA=SB，AB=2$\sqrt{3}$，BC=3．
（1）證明：SC∥平面BDE；
（2）若BC⊥SB，求三棱錐C-BDE的體積．

Answer 1

分析 （1）連接AC，設(shè)AC∩BD=O，由題意可得O為AC的中點(diǎn)，又E為AS的中點(diǎn)，由三角形中位線定理可得SC∥OE，再由線面平行的判定可得SC∥平面BDE；
（2）過E作EH⊥AB，垂足為H，由線面垂直的判定可得BC⊥平面SAB，則EH⊥BC，又EF⊥AB，得到EH⊥平面ABCD，在△SAB中，取AB中點(diǎn)M，連接SM，則SM⊥AB，求得SM=1．進(jìn)一步可得EH=$\frac{1}{2}SM=\frac{1}{2}$．再求出三角形BCD的面積利用等體積法求得三棱錐C-BDE的體積．

解答 （1）證明：連接AC，設(shè)AC∩BD=O，
∵四邊形ABCD為矩形，則O為AC的中點(diǎn)，
在△ASC中，E為AS的中點(diǎn)，∴SC∥OE，
又OE?平面BDE，SC?平面BDE，
∴SC∥平面BDE；
（2）解：過E作EH⊥AB，垂足為H，
∵BC⊥AB，且BC⊥SB，AB∩SB=B，
∴BC⊥平面SAB，
∵EH?平面ABS，∴EH⊥BC，又EF⊥AB，AB∩BC=B，
∴EH⊥平面ABCD，
在△SAB中，取AB中點(diǎn)M，連接SM，則SM⊥AB，
∴SM=1．
∵EH∥SM，EH=$\frac{1}{2}SM=\frac{1}{2}$．
∴${S}_{△BCD}=\frac{1}{2}×3×2\sqrt{3}=3\sqrt{3}$．
∴V_C-BDE=V_E-BCD=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•EH=\frac{1}{3}×3\sqrt{3}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴三棱錐C-BDE的體積為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，空間幾何體的體積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等，是中檔題．