Question

定義在實數集上的函數f（x），滿足f（x-1）=

1+f(x+1)

1-f(x+1)

，則f（1）f（2）f（3）…f（2000）+2013的值為

 

．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用

專題：函數的性質及應用

分析：利用已知條件求出函數的周期，推出f（x-2）f（x+2）=-1，然后求解表達式的值．

解答： 解：定義在實數集上的函數f（x），滿足f（x-1）=

1+f(x+1)

1-f(x+1)

，
可得f（x）=

1+f(x+2)

1-f(x+2)

，f（x-2）=

1+f(x)

1-f(x)

，
∴f（x-2）=

1+f(x)

1-f(x)

=

1+ 1+f(x+2) 1-f(x+2)

1- 1+f(x+2) 1-f(x+2)

=-

1

f(x+2)

=-

1

- 1 f(x+6)

=f（x+6）．
∴f（x+8）=f（x），
函數的周期是8．并且f（x-2）f（x+2）=-1．可得f（1）f（3）=-1．f（2）f（4）=-1，
f（5）f（7）=-1，f（6）f（8）=-1．
∴f（1）f（2）f（3）…f（2000）+2013=1+2013=2014．
故答案為：2014．

點評：本題考查抽象函數的應用，求出函數的周期，得到遞推關系式是解題的關鍵，考查分析問題解決問題的能力．