Question

2．設函數f（x）是定義在R上的偶函數，且對任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），已知當x∈[0，1]時，f（x）=2^x，則有
①2是函數f（x）的周期；
②函數f（x）在（1，2）上是減函數，在（2，3）上是增函數；
③函數f（x）的最大值是1，最小值是0．
其中所有正確的命題的序號是①②．

Answer 1

分析 ①由于對任意x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），可得f（x+2）=f（x），即可得出函數f（x）的周期；
②由函數f（x）是定義在R上的偶函數，當x∈[0，1]時，f（x）=2^x，可得x∈[-1，0]時，f（x）=f（-x）=2^-x，再根據①即可判斷出單調性；
③由②可得：函數f（x）的最大值是2，最小值是1，即可判斷出正誤．

解答 解：函數f（x）是定義在R上的偶函數，且對任意x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），已知當x∈[0，1]時，f（x）=2^x，則有：
①∵對任意x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），∴f（x+2）=f（x），因此函數f（x）的周期為2，正確；
②∵函數f（x）是定義在R上的偶函數，當x∈[0，1]時，f（x）=2^x，則x∈[-1，0]時，f（x）=f（-x）=2^-x，再根據①可得：此函數在區(qū)間（1，2）上是減函數，在區(qū)間（2，3）上是增函數，正確；
③由②可得：函數f（x）的最大值是2，最小值是1，因此不正確．
其中所有正確命題的序號是①②．
故答案為：①②．

點評 本題考查了指數函數的周期性、奇偶性、單調性，結合圖象是關鍵，屬于中檔題．