Question

已知f（x）=e^x-ax-1
（Ⅰ）若f（x）在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若f（x）在（-∞，0]上單調(diào)遞減，在[0，+∞）單調(diào)遞增，求a的值；
（Ⅲ）設(shè)在g（x）=-x²+2x-2在（Ⅱ）的條件下，求證g（x）的圖象恒在f（x）圖象的下方．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由求導(dǎo)公式求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為e^x-a≥0恒成立，利用y=e^x的值域求出a的范圍；
（Ⅱ）由題意知，f（x）在（-∞，0]上單調(diào)遞減，等價(jià)于e^x-a≤0在（-∞，0]上恒成立，利用參變量分離即可求出a的取值范圍，同理得到，f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增時(shí)a的取值范圍，綜合即可得到a的值；
（Ⅲ）由（I）可得函數(shù)f（x）的解析式，及函數(shù)的最小值，將g（x）的圖象恒在f（x）圖象的下方轉(zhuǎn)化為g（x）＜f（x）恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分析g（x）的值域，即可證明結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x-ax-1，
∴f′（x）=e^x-a，
∵f（x）在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增，
∴e^x-a≥0在R上恒成立，即a≤e^x在R上恒成立，
∵e^x＞0，
∴a≤0．
（Ⅱ）由題意知，若f（x）在（-∞，0]上單調(diào)遞減，則e^x-a≤0在（-∞，0]上恒成立，
∴a≥e^x在（-∞，0]上恒成立，
∵y=e^x在（-∞，0]上為增函數(shù)，
∴x=0時(shí)，y=e^x最大值為1，
∴a≥1，
同理可知，e^x-a≥0在[0，+∞）上恒成立，
∴a≤e^x在[0，+∞）上恒成立，
∵y=e^x在[0，+∞）上為增函數(shù)，
∴x=0時(shí)，y=e^x最小值為1，
∴a≤1，
綜上可知，當(dāng)a=1時(shí)，滿足f（x）在（-∞，0]上單調(diào)遞減，在[0，+∞）上單調(diào)遞增．
（Ⅲ）將g（x）的圖象恒在f（x）圖象的下方轉(zhuǎn)化為g（x）＜f（x）恒成立，
由（I）可知f（0）是f（x）的最小值，有f（x）≥f（0），而f（0）=e⁰-0-1=0，
∴f（x）≥0，
∵g（x）=-（x-1）²-1，
∴g（x）≤-1，
∴f（x）＞g（x），即g（x）的圖象恒在f（x）圖象的下方，
故在g（x）=-x²+2x-2在（Ⅱ）的條件下，求證g（x）的圖象恒在f（x）圖象的下方．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，以及恒成立問(wèn)題，同時(shí)考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，其中根據(jù)已知中函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，列出關(guān)于a的不等式組是解答的關(guān)鍵．屬于難題．