設(shè)f(x)=alog22x+blog4x2+1，（a，b為常數(shù)）．當(dāng)x＞0時，F(xiàn)（x）=f（x），且F（x）為R上的奇函數(shù)．
（Ⅰ）若f(
1
2
)=0，且f（x）的最小值為0，求F（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，g(x)=
f(x)+k-1
log2x
在[2，4]上是單調(diào)函數(shù)，求k的取值范圍．
分析：（1）根據(jù)f(
1
2
)=0可消去b，再由f（x）的最小值為0確定f（x）的解析式，最后求出F（x）的解析式．
（2）根據(jù)（1）先將g（x）的解析式化簡為g(x)=log2x+
k
log2x
+2，再將t=log2x代入進(jìn)行換元，可得答案．
解答：解：（1）f（x）=alog22x+blog2x+1
由f(
1
2
)=0得a-b+1=0，
∴f（x）=alog22x+（a+1）log2x+1
若a=0則f（x）=log2x+1無最小值．
∴a≠0．
欲使f（x）取最小值為0，只能使
a＞0
4a-(a+1)2
4a
=0
，知a=1，b=2．
∴f（x）=log22x+2log2x+
設(shè)x＜0則-x＞0，
∴F（x）=f（-x）=log22（-x）+2log2（-x）+1
又F（-x）=-F（x），
∴F（x）=-log22（-x）-2log2（-x）-1
又F（0）=0∴F(-x)=
log22x+2log2x+1  (x＞0)
0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(x=0)
-log22(-x)-2log2(-x)-1  (x＜0)

（2）g(x)=
log22x+2log2x+1+k-1
log2x
=log2x+
k
log2x
+2．x∈[2，4]．
得log2x=t．則y=t+
k
t
+2，t∈[1，2]．
∴當(dāng)k≤0，或
k
≤1或
k
≥2時，y為單調(diào)函數(shù)．
綜上，k≤1或k≥4．
點評：主要考查求函數(shù)解析式的問題．本題屬于較難類型的題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(
3
cosx-
3
，sinx)，
b
=(1+cosx，cosx)，設(shè)f(x)=
a
•
b
．
（1）求f(
25π
6
)的值；
（2）當(dāng)x∈[-
π
3
，
π
6
]時，求函數(shù)f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

記[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)．設(shè)f(x)=[
x
11
]•[
-11
x
]，則f（3）=
 
；如果0＜x＜60，那么函數(shù)f（x）的值域是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=
a
x
(a＞0)，設(shè)F(x)=f(x)+g(x)．
（I）求函數(shù)F（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若以函數(shù)y=F（x）（x∈（0，3]）的圖象上任意一點P（x0，y0）為切點的切線的斜率k≤
1
3
恒成立，求實數(shù)a的最小值；
（III）是否存在實數(shù)m，使得函數(shù)y=g(
2a
x2+1
)+m-1的圖象與函數(shù)y=f（1+x2）的圖象恰有四個不同的交點？若存在，求出實數(shù)m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2005•上海模擬）設(shè)f(x)=
ax+11-ax
(a＞0，a≠1)．
（1）求f（x）的反函數(shù)f-1（x）：
（2）討論f-1（x）在（1．+∞）上的單調(diào)性，并加以證明：
（3）令g（x）=1+logax，當(dāng)[m，n]?（1，+∞）（m＜n）時，f-1（x）在[m，n]上的值域是[g（n），g（m）]，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f(x)=
1，x≥0
0，x＜0
，則函數(shù)f（x）的值域是（　　）
A、{0，1}
B、[0，1]
C、{（0，1）}
D、（0，1）

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