Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx﹣a（1﹣ ）．
（1）若a=1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）≥0，對(duì)任意的x≥1均成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）求證：（ ）1008＞ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的定義域是（0，+∞），a=1時(shí)，f（x）=lnx+ ﹣1，

f′（x）= ，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，

∴f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）；

（2）解：∵ln x﹣a（1﹣ ）≥0，

∴l(xiāng)n x﹣a ≥0，

∴a（x﹣1）≤xlnx，

①當(dāng)x=1時(shí)，上式成立；

②當(dāng)x＞1時(shí)，上式可化為a≤ ，

令f（x）= ，則f′（x）= ，

令g（x）=x﹣lnx﹣1，則g′（x）=1﹣ ＞0，

故g（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，

故g（x）＞g（1）=1﹣0﹣1=0，

故f′（x）＞0，

故f（x）= 在（1，+∞）上是增函數(shù)，

而 f（x）= = =1，

故a≤1；

綜上所述，a≤1．

（3）證明：由（2）得a=1時(shí)，lnx﹣a（1﹣ ）≥0對(duì)任意的x≥1均成立，

∴l(xiāng)nx＞1﹣ ，（x＞1），

取x=1+ ，則ln（1+ ）＞1﹣ ，

即ln ＞ ，

∴ ＞ ，

∴（ ）1008＞ ．

【解析】（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）化簡(jiǎn)可得a（x﹣1）≤xlnx，從而討論，當(dāng)x＞1時(shí)，化為a≤ ，從而令f（x）= ，從而化為函數(shù)的最值問(wèn)題；（3）根據(jù)lnx＞1﹣ ，（x＞1），取x=1+ ，代入整理即可．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．