Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-mx-x+

1

3

m．（m∈R）．
（Ⅰ）若m=1，求曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若對任意x₁，x₂∈[-1，1]時，恒有|f′（x₁）-f′（x₂）|≤4，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）利用導數(shù)與函數(shù)的切線斜率的關系即可求得切線方程；
（Ⅱ）轉化為求函數(shù)的最值問題解決即可得出結論．

解答： 解：（I）m=1，f'（1）=x²-2x-1|_x=1=-2，f(1)=-

4

3

----------------（3分）
∴曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y+

4

3

=-2(x-1)，
即6x+3y-2=0-----------------------（6分）
（II）對任意x₁，x₂∈[-1，1]時，恒有|f'（x₁）-f'（x₂）|≤4-----------------------------（8分）
由g（x）=f'（x）=x²-2mx-1，
則（1）當m＜-1時，|g（x₁）-g（x₂）|≤|g（1）-g（-1）|=4|m|≤4，解得|m|≤1（舍去）；----------------（12分）
（2）當-1≤m≤0時，|g(x1)-g(x2)|≤|g(1)-g(m)|=(m-1)2≤4，解得-1≤m≤0；          
（3）當0＜m≤1時，|g(x1)-g(x2)|≤|g(-1)-g(m)|=(m+1)2≤4解得0＜m≤1-------------（13分）
（4）當m＞1時，|g（x₁）-g（x₂）|≤|g（1）-g（-1）|=4|m|≤4解得|m|≤1（舍去）-------------（14分）
綜上所述，m的取值范圍為[-1，1]．--------------------（15分）

點評：本題主要考查利用導數(shù)求切線方程及函數(shù)的最值問題等知識，考查學生的劃歸轉化思想及分類討論思想的運用能力、計算能力，屬難題．