Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+a，在區(qū)間（-∞，1）上有最小值，則函數(shù)g(x)=

f(x)

x

在區(qū)間（1，+∞）上一定（　�。�

A．是減函數(shù)

B．是增函數(shù)

C．有最小值

D．有最大值

Answer 1

分析：由函數(shù)f（x）=x²-2ax+a在區(qū)間（-∞，1）上有最小值求出a的取值范圍，表示出g（x），進(jìn)一步應(yīng)用a的范圍對(duì)g（x）的單調(diào)性、最值作出判斷．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=x²-2ax+a在區(qū)間（-∞，1）上有最小值，
∴函數(shù)f（x）=x²-2ax+a的對(duì)稱軸應(yīng)當(dāng)位于區(qū)間（-∞，1）內(nèi)，
∴有a＜1，則g（x）=

f(x)

x

=x+

a

x

-2a，
當(dāng)a＜0時(shí)，g（x）=x+

a

x

-2a在區(qū)間（1，+∞）上為增函數(shù)，此時(shí)，g（x）_min＞g（1）=1-a＞0；
當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=x在區(qū)間（1，+∞）上為增函數(shù)，此時(shí)，g（x）_min＞g（1）=1＞0；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，g（x）=x+

a

x

-2a，g'（x）=1-

a

x2

＞1-a＞0，∴g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，此時(shí)g（x）＞g（1）=1-a；
綜上，g（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)最值的求解，考查分類討論思想，考查學(xué)生解決問題的能力．