Question

橢圓與雙曲線有公共的焦點(diǎn)，過橢圓E的右頂點(diǎn)作任意直線l，設(shè)直線l交拋物線于M、N兩點(diǎn)，且．

(1)求橢圓E的方程；

(2)設(shè)P是橢圓E上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為A、關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為Q，線段PQ與x軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為CQ的中點(diǎn)，若直線AD與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)為B，試判斷直線PA，PB是否相互垂直？并證明你的結(jié)論．

 

Answer 1

【答案】

(1) ；(2) .證明見解析.

【解析】

試題分析：(1)設(shè)點(diǎn),

設(shè)直線 ,代入并整理得

利用

解得，再由求得.

(2) 首先判斷得出.可通過證明或，達(dá)到目的.

設(shè),得到,且

將直線的方程代入橢圓的方程并整理得到由得證.

試題解析：(1)設(shè)點(diǎn),

設(shè)直線 ,代入并整理得

所以 2分

故有

解得 5分

又橢圓與雙曲線有公共的焦點(diǎn)，故有

所以橢圓的方程為 . 7分

(2)

證明：設(shè),則,且

將直線的方程代入橢圓的方程并整理得

9分

由題意可知此方程必有一根

,

所以 12分

故有 , 即 13分

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，直線與拋物線的位置關(guān)系.