Question

（09年西城區(qū)抽樣理）（14分）

如圖，在直三棱柱中，，D是AA₁的中點.

(Ⅰ) 求異面直線與所成角的大�。�

(Ⅱ) 求二面角C-B₁D-B的大�。�

(Ⅲ) 在B₁C上是否存在一點E，使得平面? 若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解析：方法一：（Ⅰ）解：如圖，設(shè)F為BB₁的中點，

連接AF，CF，

 

 

直三棱柱，且D是AA₁的中點，

      ，

      為異面直線與所成的角或其補(bǔ)角.  -----------2分

     在Rt中，，AB=1，BF=1，

     ，同理，

     在中，，

     在中，，，

     異面直線與所成的角為.             ----------------------4分

（Ⅱ）解：直三棱柱，，

      又，

平面.                                   --------------------5分

如圖，連接BD，

在中，，

，即，

是CD在平面內(nèi)的射影，

，

為二面角C-B₁D-B的平面角.                 ----------------------7分

在中, , BC=1, ，

,

二面角C-B₁D-B的大小為.                 ----------------------9分

（Ⅲ）答：在B₁C上存在一點E，使得平面，此時.--------------10分

以下給出證明過程.

證明：如圖，設(shè)E為B₁C的中點，G為BC的中點，連接EG，AG，ED，

      在中，，

     ，且，

      又，且，       

      ，

      四邊形為平行四邊形，

      ，                                  -----------------------12分

      又平面ABC，平面ABC，

      平面.                             -------------------------14分

  方法二：（Ⅰ）如圖，以B為原點，BC、BA、BB₁分別為x、y、z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，

 

 則，

        ,                     ------------------2分

，

異面直線與所成的角為.               ---------------------4分

（Ⅱ）解：直三棱柱，，

      又，

平面.         ---------------------------5分                         

如圖，連接BD，

在中，，

，即，

是CD在平面內(nèi)的射影，

，

      為二面角C-B₁D-B的平面角.               -------------------------7分

，

，

         二面角C-B₁D-B的大小為.             -------------------------9分

（Ⅲ）同方法一.                                     ------------------------14分