Question

已知橢圓，（a＞b＞0）的離心率為，直線與以原點為圓心，以橢圓C的短半軸長為半徑的圓相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點M（0，t）的直線l′（斜率存在時）與橢圓C交于P、Q兩點，設(shè)D為橢圓C與y軸負半軸的交點，且|DP|=|DQ|，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）以原點為圓心，以橢圓C的短半軸長為半徑的圓的方程為x²+y²=b²，
由直線與圓相切可知，=b即b=2
∵=
∴a²=3b²
∵a²=b²+c²
∴
∴橢圓C的方程
（2）當(dāng)直線的斜率k=0時，-2＜t＜2
k≠0時，設(shè)直線線l′的方程為y=kx+t
聯(lián)立方程可得（1+3k²）x²+6ktx+3t²-12=0
則△=36k²t²-4（1+3k²）（3t²-12）＞0，
∴t²＜4+12k²①，且x₁+x₂=，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2t
取PQ中點H，則由|DP|=|DQ|可得DH⊥PQ
∵D（0，-2）
∴k=-1
∴t=1+3k²＞1②
①②聯(lián)立可得
∴t∈（1，4）
綜上，t∈（-2，4）
分析：（1）由直線與圓為x²+y²=b²，相切，利用點到直線的距離公式可求b，由及a²=b²+c²可求a，進而可求橢圓C的方程
（2）當(dāng)直線的斜率k=0時，容易求t的范圍；而k≠0時，設(shè)直線線l′的方程為y=kx+t，聯(lián)立方程，由△＞0，可得t，k的不等式，然后結(jié)合方程的根與系數(shù)關(guān)系可求x₁+x₂，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2t，從而可求PQ中點H，由|DP|=|DQ|可得DH⊥PQ，利用斜率關(guān)系可求t，k的方程，聯(lián)立可求t的范圍
點評：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，解題的關(guān)鍵是確定幾何量之間的關(guān)系，利用直線與橢圓聯(lián)立，結(jié)合韋達定理求解