Question

已知函數(shù)f（x）=loga

x-2

x+2

的定義域為[α，β]，值域為[log_aa（β-1），log_aa（α-1）]，并且f（x）在[α，β]上為減函數(shù)．
（1）求a的取值范圍；
（2）求證：2＜α＜4＜β；
（3）若函數(shù)g（x）=log_aa（x-1）-loga

x-2

x+2

，x∈[α，β]的最大值為M，求證：0＜M＜1．

Answer 1

分析：（1）由已知中f（x）在[α，β]上為減函數(shù)函數(shù)f（x）=loga

x-2

x+2

的定義域為[α，β]，值域為[log_aa（β-1），log_aa（α-1）]，我們可得loga

α-2

α+2

=f(x)max=logaa(α-1)，根據(jù)對數(shù)式中底數(shù)及真數(shù)的限制條件，可得α＞2，同理β＞2，故關(guān)于x的方程loga

x-2

x+2

=logaa(x-1)在（2，+∞）內(nèi)有二不等實根α、β．由此構(gòu)造關(guān)于a的不等式組，解不等式組即可求出a的取值范圍；
（2）令Φ（x）=ax²+（a-1）x+2（1-a），我們易得Φ（2）•Φ（4）＜0，進(jìn)而根據(jù)零點存在定理，結(jié)合（1）中的結(jié)論，得到答案；
（3）由已知中函數(shù)g（x）=log_aa（x-1）-loga

x-2

x+2

，x∈[α，β]的解析式，我們利用導(dǎo)數(shù)法，可以判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到M=g（4）=log_a9+1，結(jié)合（1）中a的取值范圍，即可得到答案．

解答：解．（1）按題意，得loga

α-2

α+2

=f(x)max=logaa(α-1)．
∴

α-2 α+2 ＞0 α-1＞0

即　α＞2．                                      （3分）
又loga

β-2

β+2

=fmin(x)=logaa(β-1)
∴關(guān)于x的方程loga

x-2

x+2

=logaa(x-1)．
在（2，+∞）內(nèi)有二不等實根x=α、β．
?關(guān)于x的二次方程ax²+（a-1）x+2（1-a）=0在（2，+∞）內(nèi)有二異根α、β．
?

a＞0且a≠1 △=(a-1)2+8a(a-1)＞0 - a-1 2a ＞2 4a+2(a-1)+2(1-a)＞0

?0＜a＜

1

9

．　　
故　0＜a＜

1

9

．             （6分）
（2）令Φ（x）=ax²+（a-1）x+2（1-a），
則Φ（2）•Φ（4）=4a•（18a-2）=8a（9a-1）＜0．
∴2＜α＜4＜β．                                                    （10分）
（3）∵g(x)=loga

(x-1)(x+2)

x-2

+1，
g′(x)=

1

lna

•

x-2

(x-1)(x+2)

•

(2x+1)(x-2)-(x2+x-2)

(x-2)2

=

1

lna

•

x(x-4)

(x+2)(x-1)(x-2)

．
∵lna＜0，
∴當(dāng)x∈（α，4）時，g'（x）＞0；
當(dāng)x∈（4，β）是g'（x）＜0．
又g（x）在[α，β]上連接，
∴g（x）在[α，4]上遞增，在[4，β]上遞減．
故　M=g（4）=log_a9+1=log_a9a．                                    （12分）
∵0＜a＜

1

9

，
∴0＜9a＜1．
故M＞0．　
若M≥1，則9a=a^M．
∴9=a^M-1≤1，矛盾．
故0＜M＜1．                                   （15分）

點評：本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的運算，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，其中（1）的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程loga

x-2

x+2

=logaa(x-1)在（2，+∞）內(nèi)有二不等實根α、β．并由此構(gòu)造關(guān)于a的不等式組，（2）的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)Φ（x）=ax²+（a-1）x+2（1-a），將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點判斷問題，（3）的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)法，判斷出M=g（4）．