Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x-4|．
（1）解不等式f（x）＞0；
（2）若f（x）+3|x-4|≥m對一切實(shí)數(shù)x均成立，求m的最大值．

Answer 1

分析 （1）對x討論，分當(dāng)x≥4時，當(dāng)-$\frac{1}{2}$≤x＜4時，當(dāng)x＜-$\frac{1}{2}$時，分別解一次不等式，再求并集即可；
（2）運(yùn)用絕對值不等式的性質(zhì)，求得F（x）=f（x）+3|x-4|的最小值，即可得到m的范圍，從而求m的最大值．

解答 解：（1）當(dāng)x≥4時，f（x）=2x+1-（x-4）=x+5＞0，
得x＞-5，所以x≥4成立；
當(dāng)$-\frac{1}{2}≤x＜4$時，f（x）=2x+1+x-4=3x-3＞0，
得x＞1，所以1＜x＜4成立；
當(dāng)$x＜-\frac{1}{2}$時，f（x）=-x-5＞0，得x＜-5，所以x＜-5成立．
綜上，原不等式的解集為{x|x＞1或x＜-5}．--------（5分）
（2）令F（x）=f（x）+3|x-4|=|2x+1|+2|x-4|≥|2x+1-（2x-8）|=9，
當(dāng)$-\frac{1}{2}≤x≤4$時等號成立．
即有F（x）的最小值為9，
所以m≤9． 即m的最大值為9．---------（10分）

點(diǎn)評 本題考查絕對值不等式的解法，以及不等式恒成立思想轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，運(yùn)用分類討論的思想方法和絕對值不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．