Question

9．設$f（x）=\frac{ax}{x+a}（{a＞0}）$，令a₁=1，a_n+1=f（a_n），又${b_n}={a_n}•{a_{n+1}}，n∈{N^*}$．
（1）證明：數(shù)列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$為等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：a_n+1=$\frac{a•{a}_{n}}{{a}_{n}+a}$．將其變形可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{a}$，由等差數(shù)列的定義進而得到答案，進而求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設S_n是數(shù)列{b_n}的前n項和．由（1）可得b_n=a_n•a_n+1=a²（$\frac{1}{n+a-1}$-$\frac{1}{n+a}$）．利用“裂項求和”的方法求出答案即可．

解答 解：（1）證明：∵a_n+1=f（a_n）=$\frac{a•{a}_{n}}{{a}_{n}+a}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{a}$．
∴$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$是首項為1，公差為$\frac{1}{a}$的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+（n-1）$\frac{1}{a}$．
整理得a_n=$\frac{a}{n+a-1}$；
（2）b_n=a_n•a_n+1=$\frac{a}{n+a-1}$•$\frac{a}{n+a}$=a²（$\frac{1}{n+a-1}$-$\frac{1}{n+a}$）．
設數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，則T_n=a²（$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{a+1}$+$\frac{1}{a+1}$-$\frac{1}{a+2}$+…$\frac{1}{n+a-1}$-$\frac{1}{n+a}$）=a²（$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{n+a}$）=a²（$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{n+a}$）=a²•$\frac{n+a-a}{a（n+a）}$=$\frac{na}{n+a}$．
∴數(shù)列{b_n}的前n項和為$\frac{na}{n+a}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“裂項求和”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．