Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4．
（1）求證：AB⊥BC₁；
（2）求二面角C₁-AB-C的大��；
（3）在AB上是否存在點D，使得AC₁∥平面CDB₁，若存在，試給出證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據AC，BC，CC₁兩兩垂直，建立如圖以C為坐標原點，建立空間直角坐標系C-xyz，寫出要用的點的坐標，根據兩個向量的數量級等于0，證出兩條線段垂直．
（2）根據所給的兩個平面的法向量一個可以直接看出另一個設出根據數量級等于0，求出結果，根據兩個平面的法向量所成的角求出兩個平面所成的角．
（3）存在點D使AC₁∥平面CDB₁，且D為AB中點，設BC₁與CB₁交于點O，則O為BC₁中點．在△ABC₁中，連接OD，D，O分別為AB，BC₁的中點，故OD為△ABC₁的中位線，根據線線平行得到線面平行．

解答：解∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面三邊長AC=3，BC=4，AB=5，
∴AC，BC，CC₁兩兩垂直．
如圖以C為坐標原點，建立空間直角坐標系C-xyz，則C（0，0，0），A（3，0，0），C₁（0，0，4），B（0，4，0），B₁（0，4，4）． …（2分）
（1）∵

AC

=(-3，0，0)，

BC1

=(0，-4，4)，
∴

AC

•

BC1

=0，故AC⊥BC₁…（4分）
（2）平面ABC的一個法向量為

m

=（0，0，1），
設平面C₁AB的一個法向量為

n

=（x₀y₀z₀），

AC1

=(-3，0，4)，

AB

=(-3，4，0)，
由

n • AC1 =0 n • AB =0

，

-3x0+4z0=0 -3x0+4y0=0

…（6分）
令x₀=4，則z₀=3，y₀=3則

n

=（4，3，3）．…（7分）
故cos＜m，n＞=

3

34

=

3

34

34

．所求二面角的大小為  arccos

3

34

34

．…（8分）
（3）存在點D使AC₁∥平面CDB₁，且D為AB中點，下面給出證明．…（9分）
設BC₁與CB₁交于點O，則O為BC₁中點．
在△ABC₁中，連接OD，D，O分別為AB，BC₁的中點，故OD為△ABC₁的中位線，…（10分）
∴OD∥AC₁，又AC₁?平面CDB₁，OD?平面CDB₁，∴AC₁∥平面CDB₁．  …（12分）
故存在點D為AB中點，使AC₁∥平面CDB₁．

點評：本題考查直線與平面平行的判斷，本題的關鍵是在平面上找出與直線平行的直線，根據有中點找中點的方法來解答．