Question

(08年四川卷理)設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是、，離心率，右準(zhǔn)線上的兩動(dòng)點(diǎn)、，且．

（Ⅰ）若，求、的值；

（Ⅱ）當(dāng)最小時(shí)，求證與共線．

Answer 1

解析：數(shù)列和解幾位列倒數(shù)第三和第二，意料之中．開始擠牙膏吧．

（Ⅰ）由已知，，．由，，∴．

又，∴，．

∴：，，．

延長交于，記右準(zhǔn)線交軸于．

∵，∴．

由平幾知識(shí)易證≌

∴，

即，．

∵，

∴，，，．

∴，．

（Ⅰ）另解：∵，∴，．

又

聯(lián)立，消去、得：，

整理得：，．解得．但解此方程組要考倒不少人．

（Ⅱ）∵，∴．

．

當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，取等號(hào)．此時(shí)取最小值．

此時(shí)．

∴與共線．

（Ⅱ）另解：∵，∴，．

　　　設(shè)，的斜率分別為，．

由，由

．當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)取等號(hào)．

即當(dāng)最小時(shí)，，

此時(shí)．

∴與共線．

點(diǎn)評(píng)：本題第一問又用到了平面幾何．看來，與平面幾何有聯(lián)系的難題真是四川風(fēng)格啊．注意平面幾何可與三角向量解幾沾邊，應(yīng)加強(qiáng)對(duì)含平面幾何背景的試題的研究．本題好得好，出得活，出得妙！均值定理，放縮技巧，永恒的考點(diǎn)．