Question

5．已知定義在R上的偶函數(shù)y=f（x）滿足f（x）=f（1-x），當$x∈[{0，\frac{1}{2}}]$時，f（x）=-4x²+4x，則函數(shù)g（x）=f（x）-ln（x+1）的零點個數(shù)為4．

Answer 1

分析 求出f（x）的周期和對稱軸，做出f（x）和y=ln（x+1）的函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象的交點個數(shù)判斷．

解答 解：∵f（x）=f（1-x），∴f（x）的圖象關于x=$\frac{1}{2}$對稱，
又f（x）是偶函數(shù)，∴f（x）=f（1-x）=f（x-1），
∴f（x）的周期是T=1．
令g（x）=0得f（x）=ln（x+1），
做出f（x）和y=ln（x+1）的函數(shù)圖象如圖所示：

由圖象可知f（x）和y=ln（x+1）的函數(shù)圖象有4個交點，
∴g（x）=f（x）-ln（x+1）有4個零點．
故答案為：4．

點評 本題考查了函數(shù)零點個數(shù)與函數(shù)圖象的關系，屬于中檔題．