Question

設(shè)

a

=(cosx，sinx)，

b

=(

3

，-1)
（1）求|2

a

-

b

|的最大值及相應(yīng)x的值；
（2）當(dāng)

a

•

b

=-

2 5

5

，x∈(0，

π

2

)時(shí)，求cosx的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)向量模的公式，得出

|a|

=1且

|b|

=2，再由向量的三角形不等式得|2

a

-

b

|≤2

|a|

+

|b|

，由此不難得到|2

a

-

b

|的最大值及相應(yīng)x的值；
（2）根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算公式，解出sin（x-

π

3

）=

5

5

．再利用配角：x=（x-

π

3

）+

π

3

，并結(jié)合兩角和的余弦公式即可算出cosx的值．

解答：解：（1）∵

a

=(cosx，sinx)，

b

=(

3

，-1)
∴

|a|

=

cos2x+sin2x

=1，

|b|

=

3+1

=2
由此可得|2

a

-

b

|≤2

|a|

+

|b|

=4，
當(dāng)且僅當(dāng)2

a

與

b

共線且反向時(shí)，即

3 sinx=-cosx cosx＜0

時(shí)，等號(hào)成立
解之得：x=

5π

6

+2kπ，k∈Z
綜上所述，當(dāng)x=

5π

6

+2kπ（k∈Z）時(shí)，|2

a

-

b

|的最大值為4
（2）

a

•

b

=

3

cosx-sinx=-

2 5

5

∴2sin（x-

π

3

）=

2 5

5

，得sin（x-

π

3

）=

5

5

∵x∈(0，

π

2

)，得x-

π

3

∈（-

π

3

，

π

6

）
∴cos（x-

π

3

）=

1-sin2(x- π 6 )

=

2 5

5

由此可得cosx=cos[（x-

π

3

）+

π

3

]=

2 5

5

•

1

2

-

5

5

•

3

2

=

2 5 - 15

10

點(diǎn)評(píng)：本題以平面向量數(shù)量積的運(yùn)算為載體，著重考查了三角恒等變形、向量的模及其運(yùn)算性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．