已知數(shù)列{an},bn滿足:a1=
1
4
,an+bn=1,bn+1=
bn
1-
a
2
n

(1)求b1,b2,b3,b4;
(2)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(3)設(shè)Sn=a1•a2+a2•a3+…+an•an+1,若4a•Sn>bn對n∈N*恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
分析:(1)先由an+bn=1,bn+1=
bn
1-
a
2
n
,得出bn+1=
1
1+an
=
1
2-bn
,又a1=
1
4
從而求b1,b2,b3,b4的值;(2)由bn+1=
1
2-bn
兩邊同減去1,得bn+1-1=
1
2-bn
-1=-
bn-1
bn-2
,對上式取倒數(shù),則數(shù)列{
1
bn-1
}
是以-4為首項(xiàng),-1為公差的等差數(shù)列,最后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(3)由(2)知an=1-bn=1-
n+2
n+3
=
1
n+3
,而anan+1=
1
(n+3)(n+4)
=
1
n+3
-
1
n+4
,利用拆項(xiàng)法求得Sn,又因4a•Sn>bn對n∈N*恒成立,有4a(1-
1
n+4
)>
n+2
n+3
最后利用分離參數(shù)a的方法即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解答:解:(1)∵an+bn=1,bn+1=
bn
1-
a
2
n
,∴bn+1=
1
1+an
=
1
2-bn
(*),
a1=
1
4
b1=1-
1
4
=
3
4
,b2=
1
2-
3
4
=
4
5
b3=
1
2-
4
5
=
5
6
,b4=
1
2-
5
6
=
6
7

(2)由bn+1=
1
2-bn
兩邊同減去1,得bn+1-1=
1
2-bn
-1=-
bn-1
bn-2

對上式取倒數(shù),得
1
bn+1-1
=-
bn-2
bn-1
=
1
bn-1
-1
,又
1
b1-1
=
1
3
4
-1
=-4

則數(shù)列{
1
bn-1
}
是以-4為首項(xiàng),-1為公差的等差數(shù)列,
1
bn-1
=-4-(n-1)=-n-3
,即bn-1=-
1
n+3
,
bn=
n+2
n+3

(3)由(2)知an=1-bn=1-
n+2
n+3
=
1
n+3
,而anan+1=
1
(n+3)(n+4)
=
1
n+3
-
1
n+4

又Sn=a1•a2+a2•a3++an•an+1,則有Sn=(
1
4
-
1
5
)+(
1
5
-
1
6
)+…+(
1
n+3
-
1
n+4
)=
1
4
-
1
n+4

又因4a•Sn>bn對n∈N*恒成立,則有4a(1-
1
n+4
)>
n+2
n+3
4a>
n+2
n+3
4(n+4)
n
=4+
4(3n+8)
n2+3n

對n∈N*恒成立.
設(shè)函數(shù)g(n)=
3n+8
n2+3n
,
g(n+1)-g(n)=
3(n+1)+8
(n+1)2+3(n+1)
-
3n+8
n2+3n
=
-3n2-19n-44
(n2+5n+4)(n2+3n)
<0

所以g(n)是單調(diào)遞減,則當(dāng)n=1時(shí),g(n)取得最大值為
11
4
∴4a>4+11即a>
15
4

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(
15
4
,+∞)
點(diǎn)評:本小題主要考查數(shù)列遞推式、數(shù)列與不等式的綜合、不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎(chǔ)題.
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(1)已知數(shù)列{an}的前幾項(xiàng)和為sn=
3
2
(an-1)(n∈N*)

①求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
②求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.
(2)已知
OA
=
a
,
OB
=
b
,且|
a
|=|
b
|=4,∠AOB=60°,
①求|
a
+
b
|,|
a
-
b
|
; 
②求(
a
+
b
)與
a
的夾角.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=2,
an+1+an
an
=
an+2-an+1
an+1
(n∈N*)
,則a200=(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=
1
2
,點(diǎn)(n,2an+1-an)在直線y=x上,其中n=1,2,3,…,設(shè)bn=an+1-an-1,則數(shù)列{bn}是(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2006•石景山區(qū)一模)已知數(shù)列{an}是由正整數(shù)組成的數(shù)列,a1=4,且滿足lgan=lgan-1+lgb,其中b>3,n≥2,且n∈N*,則an=
4bn-1
4bn-1
,
lim
n→∞
3n-1-an
3n-1+an
=
-1
-1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(理)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3n,集合A={y|y=ai , i≤99 , i∈N*},B={y|y=4m+1,m∈N*}.現(xiàn)在集合A中隨機(jī)取一個(gè)元素y,則y∈B的概率為
49
99
49
99

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