分析:(1)先由
an+bn=1,bn+1=,得出
bn+1==,又
a1=從而求b
1,b
2,b
3,b
4的值;(2)由
bn+1=兩邊同減去1,得
bn+1-1=-1=-,對上式取倒數(shù),則數(shù)列
{}是以-4為首項(xiàng),-1為公差的等差數(shù)列,最后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求數(shù)列{b
n}的通項(xiàng)公式;
(3)由(2)知
an=1-bn=1-=,而
an•an+1==-,利用拆項(xiàng)法求得Sn,又因4a•S
n>b
n對n∈N*恒成立,有
4a(1-)>最后利用分離參數(shù)a的方法即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解答:解:(1)∵
an+bn=1,bn+1=,∴
bn+1==(*),
a1=∴
b1=1-=,b2==,b3==,b4==(2)由
bn+1=兩邊同減去1,得
bn+1-1=-1=-對上式取倒數(shù),得
=-=-1,又
==-4則數(shù)列
{}是以-4為首項(xiàng),-1為公差的等差數(shù)列,
∴
=-4-(n-1)=-n-3,即
bn-1=-,
∴
bn=(3)由(2)知
an=1-bn=1-=,而
an•an+1==-又S
n=a
1•a
2+a
2•a
3++a
n•a
n+1,則有
Sn=(-)+(-)+…+(-)=-又因4a•S
n>b
n對n∈N*恒成立,則有
4a(1-)>即
4a>•=4+對n∈N*恒成立.
設(shè)函數(shù)
g(n)=,
則
g(n+1)-g(n)=-=-3n2-19n-44 |
(n2+5n+4)(n2+3n) |
<0所以g(n)是單調(diào)遞減,則當(dāng)n=1時(shí),g(n)取得最大值為
∴4a>4+11即
a>所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為
(,+∞).
點(diǎn)評:本小題主要考查數(shù)列遞推式、數(shù)列與不等式的綜合、不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎(chǔ)題.