Question

10．在數列{a_n}中，a₁=2，a₂=4，且當n≥2時，a_n²=a_n-1a_a+1，n∈N^•；
（1）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（2）若b_n=（2n-1）a_n，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）通過題意可知數列{a_n}是等比數列，進而可求出公比，代入公式即得結論；
（2）通過（1）可知b_n=（2n-1）2ⁿ，進而利用錯位相減法計算即得結論．

解答 解：（1）∵當n≥2時，a_n²=a_n-1a_a+1，
∴數列{a_n}是等比數列，
又∵a₁=2，a₂=4，
∴公比a=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=2，
∴數列{a_n}是首項、公比均為2的等比數列，
∴其通項公式a_n=2ⁿ；
（2）由（1）可知b_n=（2n-1）a_n=（2n-1）2ⁿ，
則S_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）×2ⁿ，
2S_n=1×2²+3×2³+…+（2n-3）×2ⁿ+（2n-1）×2ⁿ⁺¹，
兩式相減，得：-S_n=2+2×2²+2×2³+…+2×2ⁿ-（2n-1）×2ⁿ⁺¹
=2+2×$\frac{{2}^{2}（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n-1）×2ⁿ⁺¹
=-6-（2n-3）×2ⁿ⁺¹，
∴S_n=6+（2n-3）×2ⁿ⁺¹．

點評 本題考查數列的通項及前n項和，考查錯位相減法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．