Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為D₁C₁，B₁C₁的中點(diǎn)，AC∩BD=P，A₁C₁∩EF=Q，如圖所示．
（1）點(diǎn)D，B，F(xiàn)，E共面嗎？
（2）作出直線A₁C與平面BDEF的交點(diǎn)R的位置；
（3）點(diǎn)P，Q，R共線嗎？

Answer 1

分析：（1）點(diǎn)D，B，F(xiàn)，E共面共面．設(shè)交點(diǎn)為O，則OC₁=C₁C，同理，直線DE與CC₁也相交，設(shè)交點(diǎn)為O₁，證明O₁與O重合，得DE與BF交于O，故D，B，F(xiàn)，E共面．
（2）在正方體AC₁中，連接PQ，說明Q是平面A₁C₁CA與平面BDEF的公共點(diǎn)，P也是平面A₁C₁CA與平面BDEF的公共點(diǎn)；說明R∈平面BDEF，判定R是A₁C與PQ的交點(diǎn)．
（3）點(diǎn)P，Q，R共線．由（2）知，PQ=平面BDEG∩平面A₁ACC₁，再利用平面的基本性質(zhì)中的公理2即可證得結(jié)論．

解答：解：（1）共面，證明：由于CC₁和BF在同一平面內(nèi)，且不平行，故必相交，設(shè)交點(diǎn)為O，則OC₁=C₁C，同理，直線DE與CC₁也相交，設(shè)交點(diǎn)為O₁，則O₁C₁=C₁C，故O₁與O重合，得DE與BF交于O，故D，B，F(xiàn)，E共面．
（2）在正方體AC₁中，連接PQ，
∵Q∈A₁C₁，∴Q∈平面A₁C₁CA．又Q∈EF，
∴Q∈平面BDEF，即Q是平面A₁C₁CA與平面BDEF的公共點(diǎn)，
同理，P也是平面A₁C₁CA與平面BDEF的公共點(diǎn)．
∴平面A₁C₁CA∩平面BDEF=PQ．
又A₁C∩平面BDEF=R，
∴R∈A₁C，
∴R∈平面A₁C₁CA，
R∈平面BDEF．
∴R是A₁C與PQ的交點(diǎn)．如圖．
（3）共線，證明：由（2）知，PQ=平面BDEG∩平面A₁ACC₁，R∈A₁C，
而A₁C?平面A₁ACC₁，故R∈平面A₁ACC₁，
同理，R∈平面BDEF，
故R∈PQ，即P，Q，R三點(diǎn)共線．

點(diǎn)評(píng)：本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查作圖能力，是中檔題．