Question

19．如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=AP=2CD=2．
（Ⅰ）若M是棱PB上一點，且BM=2PM，求證：PD∥平面MAC；
（Ⅱ） 若平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，求證：PA⊥平面ABCD；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求PC與平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （I）連結(jié)BD交AC于點N，連結(jié)MN，利用△CDN∽△ABN可得$\frac{BM}{PM}=\frac{BN}{DN}$=2，于是MN∥PD，故而PD∥平面MAC；
（II）利用面面垂直的性質(zhì)得出PA⊥AB，PA⊥AD，從而PA⊥平面ABCD；
（III）由（2）可知∠PCA為所求線面角，利用勾股定理得出AC，從而計算出tan∠PCA=$\frac{PA}{AC}$．

解答 證明：（Ⅰ）連結(jié)BD交AC于點N，連結(jié)MN
∵AB∥CD，
∴△CDN∽△ABN
∴$\frac{BN}{DN}=\frac{AB}{CD}=2$． 
∵BM=2PM，
∴$\frac{BM}{PM}=\frac{BN}{DN}$=2．
∴MN∥PD．
又MN?平面MAC，PD?平面MAC，
∴PD∥平面MAC．  
（Ⅱ）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AB⊥AD，AD?平面ABCD，
∴AD⊥平面PAB．∵PA?平面PAB，
∴AD⊥PA． 
同理可證AB⊥PA．
又AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，AB∩AD=A，
∴PA⊥平面ABCD．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，PA⊥平面ABCD．
∴∠PCA為PC與平面ABCD所成的角． 
∵PA=AD=2，CD=1，
∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴tan∠PCA=$\frac{PA}{AC}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$．  
∴PC與平面ABCD所成角的正切值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查了線面平行，線面垂直的判定，線面角的計算，屬于中檔題．