Question

如圖所示，在底面是直角梯形的四棱錐P-ABCD中，∠DAB=90°，面PAC⊥平面ABCD，，M是PD的中點．
（1）求證：MC∥平面PAB；
（2）求CM與平面PBC所成角的正弦值；
（3）已知點Q是棱PD上的一點，若二面角Q-AC-D為45°，求．

Answer 1

【答案】分析：過點A作底面ABCD的垂線，由∠DAB=90°，以A為原點建立空間直角坐標系，設PA=2，則．
（1）由M為PD中點，知，所以，，設，得到，由此能夠證明CM∥平面PAB．
（2），設平面PBC的法向量為，由，得，由此能求出CM與平面PBC所成角的正弦值．
（3）設，λ∈（0，1），則，設平面QAC的法向量為，由，得，
平面ABCD的法向量，由二面角Q-AC-D為45°，能求出．
解答：解：過點A作底面ABCD的垂線，
又∵∠DAB=90°
∴可以A為原點建立空間直角坐標系，如圖所示
取AC中點H，
∵PA=PB，∴PH⊥AC，
∵面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC
∴PH⊥平面ABCD
不妨設PA=2，則由已知條件可得：．
（1）證明：∵M為PD中點，
∴，
∴，
，
設，
則，∴，
∴，
∴平面PAB，
∵CM?平面PAB，
∴CM∥平面PAB．
（2），
設平面PBC的法向量為，
由可得，
可得一個法向量．
設CM與平面PBC所成角為θ，
則．
（3）設，λ∈（0，1），
則，
設平面QAC的法向量為，
由得，
可得一個法向量，
平面ABCD的法向量，
由二面角Q-AC-D為45°可得，
即，
解得，或λ=-1（舍）．
所以，
所以．
點評：本題考查直線與平面平行的證明，直線與平南所成角的正弦值的求法和二面角的應用，考查考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，是高考的重點．解題時要認真審題，注意向量法的靈活運用．