Question

19．為了解學(xué)生寒假期間學(xué)習(xí)情況，學(xué)校對(duì)某班男、女學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)間進(jìn)行調(diào)查，學(xué)習(xí)時(shí)間按整小時(shí)統(tǒng)計(jì)，調(diào)查結(jié)果繪成折線(xiàn)圖如下：

（Ⅰ）已知該校有400名學(xué)生，試估計(jì)全校學(xué)生中，每天學(xué)習(xí)不足4小時(shí)的人數(shù)；
（Ⅱ）若從學(xué)習(xí)時(shí)間不少于4小時(shí)的學(xué)生中選取4人，設(shè)選到的男生人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列；
（Ⅲ）試比較男生學(xué)習(xí)時(shí)間的方差${S_1}^2$與女生學(xué)習(xí)時(shí)間方差$S_2^2$的大�。�（只需寫(xiě)出結(jié)論）

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，由折線(xiàn)圖分析可得20名學(xué)生中有12名學(xué)生每天學(xué)習(xí)不足4小時(shí)，進(jìn)而可以估計(jì)校400名學(xué)生中天學(xué)習(xí)不足4小時(shí)的人數(shù)；
（Ⅱ）學(xué)習(xí)時(shí)間不少于4本的學(xué)生共8人，其中男學(xué)生人數(shù)為4人，故X的取值為0，1，2，3，4；由古典概型公式計(jì)算可得X=0，1，2，3，4的概率，進(jìn)而可得隨機(jī)變量X的分布列；
（Ⅲ）根據(jù)題意，分析折線(xiàn)圖，求出男生、女生的學(xué)習(xí)時(shí)間方差，比較可得答案．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，由折線(xiàn)圖可得12名男生中有8名每天學(xué)習(xí)不足4小時(shí)，
8名女生中有4名每天學(xué)習(xí)不足4小時(shí)，
即20名學(xué)生中有12名學(xué)生每天學(xué)習(xí)不足4小時(shí)，
每天學(xué)習(xí)不足4小時(shí)的人數(shù)為：$400×\frac{12}{20}=240$人．
（Ⅱ）學(xué)習(xí)時(shí)間不少于4本的學(xué)生共8人，其中男學(xué)生人數(shù)為4人，故X的取值為0，1，2，3，4．
由題意可得$P（X=0）=\frac{C_4^4}{C_8^4}=\frac{1}{70}$；   
 $P（X=1）=\frac{C_4^1C_4^3}{C_8^4}=\frac{16}{70}=\frac{8}{35}$；
$P（X=2）=\frac{C_4^2C_4^2}{C_8^4}=\frac{36}{70}=\frac{18}{35}$；  
  $P（X=3）=\frac{C_4^3C_4^1}{C_8^4}=\frac{16}{70}=\frac{8}{35}$；
$P（X=4）=\frac{C_4^4}{C_8^4}=\frac{1}{70}$．
所以隨機(jī)變量X的分布列為

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{70}$	$\frac{8}{35}$	$\frac{18}{35}$	$\frac{8}{35}$	$\frac{1}{70}$

隨機(jī)變量X的均值$EX=0×\frac{1}{70}+1×\frac{16}{70}+2×\frac{36}{70}+3×\frac{16}{70}+4×\frac{1}{70}=2$．
（Ⅲ）根據(jù)題意，對(duì)于男生，學(xué)習(xí)時(shí)間1小時(shí)的有1人，學(xué)習(xí)時(shí)間2小時(shí)的有4人，學(xué)習(xí)時(shí)間3小時(shí)的有3人，學(xué)習(xí)時(shí)間4小時(shí)的有2人，學(xué)習(xí)時(shí)間5小時(shí)的有2人，
其平均數(shù)${\overline{x}}_{1}$=$\frac{1}{12}$（1×1+2×4+3×3+4×2+5×2）=3，
其方差${s_1}^2$=$\frac{1}{12}$[（1-3）²+4×（2-3）²+3×（3-3）²+2×（4-3）²+2×（5-3）²]=1.5；
對(duì)于女生，學(xué)習(xí)時(shí)間2小時(shí)的有1人，學(xué)習(xí)時(shí)間3小時(shí)的有3人，學(xué)習(xí)時(shí)間4小時(shí)的有3人，學(xué)習(xí)時(shí)間5小時(shí)的有1人，
其平均數(shù)${\overline{x}}_{2}$=$\frac{1}{8}$（1×2+3×3+4×3+5×1）=3.5，
其方差${s_2}^2$=$\frac{1}{8}$[（2-3.5）²+3×（3-3.5）²+3×（4-3.5）²+（5-3.5）²]=0.75；
比較可得${s_1}^2＞$${s_2}^2$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查隨機(jī)變量的分布列、期望與方差的計(jì)算，涉及折線(xiàn)圖的應(yīng)用，關(guān)鍵是利用折線(xiàn)圖分析數(shù)據(jù)．