Question

“城中觀�！笔墙�年來國內很多大中型城市內澇所致的現象，究其原因，除天氣因素、城市規(guī)劃等原因外，城市垃圾雜物也是造成內澇的一個重要原因．暴雨會沖刷城市的垃圾雜物一起進入下水道，據統(tǒng)計，在不考慮其它因素的條件下，某段下水道的排水量V（單位：立方米/小時）是雜物垃圾密度x（單位：千克/立方米）的函數．當下水道的垃圾雜物密度達到2千克/立方米時，會造成堵塞，此時排水量為0；當垃圾雜物密度不超過0.2千克/立方米時，排水量是90立方米/小時；研究表明，0.2≤x≤2時，排水量V是垃圾雜物密度x的一次函數．
（1）當0≤x≤2時，求函數V（x）的表達式；
（2）當垃圾雜物密度x為多大時，垃圾雜物量（單位時間內通過某段下水道的垃圾雜物量，單位：千克/小時）f（x）=x•V（x）可以達到最大，求出這個最大值．

Answer 1

分析：（1）根據題意，對x進行分段求解，當0≤x≤0.2，V（x）=90，當0.2≤x≤2時，利用待定系數法，求出V（x）=-50x+100，最后用分段函數表示出V（x）即可；
（2）表示出f（x）的解析式為分段函數，對0≤x≤0.2上的函數利用單調性求最大值，對0.2≤x≤2上的函數運用基本不等式求最大值，比較兩段的最大值，即可得到答案．

解答：解：（1）∵當垃圾雜物密度不超過0.2千克/立方米時，排水量是90立方米/小時，
∴V（x）=90，0≤x≤0.2，
∵0.2≤x≤2時，排水量V是垃圾雜物密度x的一次函數，
∴設為V（x）=mx+n，將（0.2，90），（2，0）代入得：

0.2m+n=90 2m+n=0

，解得m=-50，n=100，
∴V（x）=-50x+100，0.2≤x≤2，
∴

V(x)= 90(0≤x≤0.2) -50x+100(0.2＜x≤2)

；
（2）由題意可得f(x)=x•V(x)=

90x(0≤x≤0.2) -50x(x-2)(0.2＜x≤2)

，
當0≤x≤0.2時，f（x）=90x，最大值為1.8千克/小時，
當0.2≤x≤2時，f（x）=50x（2-x）≤50（x=1時取等號），
∴當雜物垃圾密度x=1千克/立方米，f（x）取得最大值50千克/小時．

點評：本小題主要考查函數模型的選擇與應用．解題中考查了待定系數法求函數的解析式，考查了分段函數的解析式以及最值問題．解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認真審題；（2）引進數學符號，建立數學模型；（3）利用數學的方法，得到數學結果；（4）轉譯成具體問題作出解答，其中關鍵是建立數學模型．屬于中檔題．