Question

17．函數(shù)f（x）=x³-bx²+x在（0，$\frac{2}{3}$）內(nèi)有極值，則b的范圍是（$\sqrt{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 由已知得f′（x）=0有實數(shù)根在（0，$\frac{2}{3}$），由此能求出實數(shù)b的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x³-bx²+x，
∴f′（x）=3x²-2bx+1，
∵函數(shù)f（x）=x³-bx²+x在（0，$\frac{2}{3}$）內(nèi)有極值，
∴f′（x）=3x²-2bx+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，并且至少有一個根在（0，$\frac{2}{3}$）．
∴△=4b²-12＞0，可得：b$＞\sqrt{3}$或b$＜-\sqrt{3}$，3x²-2bx+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，
x₁x₂=$\frac{1}{3}$，可知兩個根同號，
至少有一個根在（0，$\frac{2}{3}$）．說明兩個根都是正根，b$＞\sqrt{3}$．
一個根在（0，$\frac{2}{3}$）內(nèi)時，
可得f′（0）•f′（$\frac{2}{3}$）＜0，
即：$3×\frac{4}{9}-2b×\frac{2}{3}+1＜0$．解得：b$＞\frac{7}{4}$．
兩個根在（0，$\frac{2}{3}$）內(nèi)時，
$\left\{\begin{array}{l}{0＜\frac{3}＜\frac{2}{3}}\\{3×\frac{4}{9}-2b×\frac{2}{3}+1≥0}\\{b＞\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得b∈（$\sqrt{3}，\frac{7}{4}$]
綜上實數(shù)b的取值范圍是（$\sqrt{3}$，+∞）．
故答案為：（$\sqrt{3}$，+∞）．

點評 本題主要考查極值的概念、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎知識，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質(zhì)的合理運用．