Question

12．已知sinα=$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，cos（α+β）=-$\frac{1}{3}$，且α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），則sin（α-β）的值等于$\frac{10\sqrt{2}}{27}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)sinα，cos（α+β），求出cos2α，sin2α，sin（α+β）的值，進(jìn)而根據(jù)兩角和公式把sin（α-β）=sin[2α-（α+β）]代入即可．

解答 解：∵α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴2α∈（0，π），α+β∈（0，π）
∵sinα=$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，
∴cos2α=1-2sin²α=-$\frac{7}{9}$，
∴sin2α=$\sqrt{1-co{s}^{2}2α}$=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，
∵cos（α+β）=-$\frac{1}{3}$，
∴sin（α+β）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α+β）}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴sin（α-β）=sin[2α-（α+β）]=sin2αcos（α+β）-cos2αsin（α+β）
=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$×（-$\frac{1}{3}$）-（-$\frac{7}{9}$）×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{10\sqrt{2}}{27}$，
故答案為：$\frac{10\sqrt{2}}{27}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式的運(yùn)用．考查了學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的掌握．屬于中檔題．